\(a_{1}\),\(a_{2}\),・・・・,\(a_{n}\)を整数とし、
f（x）=\(x^{n}\)+\(a_{1}\)x^（n－1）+\(a_{2}\)x^（n－2）+……+\(a_{n}\)とする。
（1）有理数αが方程式f（x）=0の一つの解ならば、αは整数であることを証明せよ
（2）f（0）,f（1）が奇数ならば方程式f（x）=0は有理数の解しか持たない事を証明せよ
って問題ですお願いします
★希望★完全解答★
\(a_{1}\),\(a_{2}\),・・・・,\(a_{n}\)を整数とし、
f（x）=\(x^{n}\)+\(a_{1}\)x^（n－1）+\(a_{2}\)x^（n－2）+……+\(a_{n}\)とする。
（1）有理数αが方程式f（x）=0の一つの解ならば、αは整数であることを証明せよ
（2）f（0）,f（1）が奇数ならば方程式f（x）=0は有理数の解しか持たない事を証明せよ
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(1) α が有理数なので, 整数 b, c (b > 0) が存在して, 既約分数で α = \(\frac{c}{b}\) と書ける。
\(b^{n}\) f(α) = \(c^{n}\) + \(a_{1}\) b c^(n - 1) + \(a_{2}\) \(b^{2}\) c^(n - 2) + … + \(a_{n}\) \(b^{n}\) = 0.
従って \(c^{n}\) = -b(\(a_{1}\) c^(n - 1) + \(a_{2}\) b c^(n - 2) + … + \(a_{n}\) b^(n - 1)).
だから b|c だが, α = \(\frac{c}{b}\) は既約だったから (b > 0 より) b = 1 でなければならない。
(2) には反例がある。
f(x) = \(x^{2}\) + 3x + 1 は題意を満たす。
しかし, 明らかに f(x) = 0 の解は x = (-3 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)5)/2 は有理数ではない。
有理数解を少なくとも一つは持つっていうのが前提?