左辺と中辺より、
（ａ＋１）（ｃ＋ａ＋２）＝（ｂ＋１）（ｂ＋ｃ＋２）
ａｃ＋ａ² ＋２ａ＋ｃ＋ａ＋２＝ｂ² ＋ｂｃ＋２ｂ＋ｂ＋ｃ＋２
ａｃ－ｂｃ＋ａ² －ｂ² ＋３ａ－３ｂ＝０
（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋３）＝０……①
中辺と右辺より、
（ｂ＋１）（ｂ＋ａ＋２）＝（ｃ＋１）（ｃ＋ａ＋２）
同様にして、
（ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋３）＝０……②
左辺と右辺より、
（ａ＋１）（ａ＋ｂ＋２）＝（ｃ＋１）（ｂ＋ｃ＋２）
同様にして、
（ｃ－ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋３）＝０……③
①②③が同時に成り立つのは、
ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０または、
（ａ－ｂ）＝０かつ（ｂ－ｃ）＝０かつ（ｃ－ａ）＝０

（ｉ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０の場合
　　　ｂ＋ｃ＝－ａ－３より、
　　　　　　　ａ＋１　　　　ａ＋１　　　ａ＋１
　　　左辺＝─────＝──────＝────＝－１
　　　　　　ｂ＋ｃ＋２　－ａ－３＋２　－ａ－１
　　　ただし、分母を０としないので、ａ≠－１
　　　同様に中辺と右辺から、ｂ≠－１，ｃ≠－１
　　　したがって、
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（すべてａ，ｂ，ｃが－１でない）
　　　とき、式の値（－１）

（ⅱ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ＝－１またはｂ＝－１またはｃ＝－１）
　　　のとき、式の値（不定）

（ⅲ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ－ｂ）＝０かつ（ｂ－ｃ）＝０かつ
　　　（ｃ－ａ）＝０
　　　このとき必ずａ＝ｂ＝ｃ＝－１
　　　つまり、
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ＝ｂ＝ｃ＝－１）
　　　のとき、式の値（不定）

（ⅱ）（ⅲ）より、ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ，ｂ，ｃのうち、少なく
　　　とも１つは－１）のとき、式の値（不定）

（ⅳ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０かつ（ａ－ｂ）＝０かつ（ｂ－ｃ）＝０かつ
　　　（ｃ－ａ）＝０
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０かつａ＝ｂ＝ｃより、
　　　このとき必ずａ＝ｂ＝ｃ≠－１
　　　　　　　ａ＋１　　　ａ＋１　１
　　　左辺＝─────＝────＝─
　　　　　　ｂ＋ｃ＋２　２ａ＋２　２
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０かつ（ａ＝ｂ＝ｃ≠－１）のとき、
　　　式の値（１／２）

したがって、
条件としてａ≠－１かつｂ≠－１かつｃ≠－１ならば、
　　｛ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０のとき、式の値（－１）
　　｛ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０のとき、式の値（１／２）……（答）

※なお、質問の
　「b＋c＋２≠０、c＋a＋２≠０、a＋b＋２≠０となり、よって
　　a＋b＋c≠－３ということができ」
は、いえない。
例えば、ａ＝－２，ｂ＝－２，ｃ＝１とすると、
ａ＋ｂ＋ｃ＝－３となる。