3862の複素数を使った解き方の一例を書きます。

まず三角形ABCの各頂点を外心を0としてa,b,c(複素数)とします。｜a｜=｜b｜=｜c｜
=Rとします。垂心hはa+b+cです。なぜならah垂直bc,bh垂直ac,ch垂直abがなりたつか
らです。たとえば直線ahと辺bcは(a+b+c-a)/(b-c)=(b+c)/(b-c)とこの共役解と足す
と（共役解を(_)を用いて表すと）(b+c)/(b-c)+(_b+_c)/(_b-_c)=2(｜b｜^2-｜c｜
^2)/(_b-_c)(b-c)=0つまりah垂直bcです。他も同様。

また三角形ABCの外接円とaからbcに下ろした垂線の延長が交わる点(p’とする)は
-b\(\frac{c}{a}\)です。なぜなら｜-b\(\frac{c}{a}\)｜=｜ｂ｜｜ｃ｜/｜a｜=Rなのでこの点は外接円上にあ
り、また(-b\(\frac{c}{a}\)-a)/b-c)

についてこの共役解は_a=\(R^{2}\)/a,_b=\(R^{2}\)/b,_c=\(R^{2}\)/cを用いると、
-((_\(b_{c}\)/_a)-_a)/(_b-_c)=((-\(R^{2}\)/b・\(R^{2}\)/c・
a/\(R^{2}\))-\(R^{2}\)/a)/(\(R^{2}\)/b-\(R^{2}\)/c)=(a+b\(\frac{c}{a}\))/(b-c)となり、この２つを足すと0になるの
でP’と垂心を結ぶ直線は辺bcと垂直です。同様にbからacに下ろした垂線と外接円と
の交点をq’とするとq’=-a\(\frac{c}{b}\),cからabに下ろした垂線との交点をr’とするとr’
=-a\(\frac{b}{c}\)です。

またhp’の中点はpです。p=\(\frac{1}{2}\)(a+b+c-b\(\frac{c}{a}\))とするとpbとcbとは
\(\frac{1}{2}\)(_a+_b+_c+(-_\(b_{c}\)/_a)-_b)/(_c-_b)=\(\frac{1}{2}\)((\(R^{2}\)/a+\(R^{2}\)/b+\(R^{2}\)/c+(-\(R^{2}\)/b・
\(R^{2}\)/c/\(R^{2}\)a)-\(R^{2}\)/b)/(\(R^{2}\)/c-\(R^{2}\)/b)=\(\frac{1}{2}\)((\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)-\(\frac{a}{b}\)c)-\(\frac{1}{b}\))/(\(\frac{1}{c}\)-\(\frac{1}{b}\))=\(\frac{1}{2}\)((
a+b+c-b\(\frac{c}{a}\))-b)/(c-b)よって実数となり一直線上にあります。同様にhq’の中点は
q、hr’の中点はrです。

Rを計算上1として一般性は保たれるのでこれらを用いると
M=(a+b+c)/2,D=(b+c)/2,E=(c+a)/2,F=(a+b)/2,P=(a+b+c-b\(c_{a}\))/2,Q=(a+b+c-c\(a_{b}\))/2,
R=(a+b+c-a\(b_{c}\))/2,A1=(a+a+b+c)/2,B1=(b+a+b+c)/2,C1=(c+a+b+c)/2したがってMD=｜
(b+c)/2-(a+b+c)/2｜=｜-\(\frac{a}{2}\)｜=\(\frac{1}{2}\),同様にME=MF=\(\frac{1}{2}\),またMP=｜
(a+b+c-(b\(\frac{c}{a}\)))/2-(a+b+c)/2｜=｜-b\(\frac{c}{2}\)a｜=\(\frac{1}{2}\)同様にMQ=MR=\(\frac{1}{2}\),MA1,MB1,MC1も\(\frac{1}{2}\)
となり半径がひとしいので同じ円周上にあります。

九点円で調べたらまたもう少し別の解き方があると思います。