求める分数の分子をkとすると
m＜k/\(p^{2}\)*\(q^{2}\)＜nと書けます。分母を払うと
m*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)＜k＜n*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)となり、
n*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)の中にpの倍数はn*p*\(q^{2}\)個,
qの倍数はn*\(p^{2}\)*q個、pqの倍数はn*p*q個あります。
だからn*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)の中にpの倍数でもqの倍数でもないものは、(n*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)-n*p*\(q^{2}\)-n*\(p^{2}\)*q+n*p*q)個あります。
同様にm*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)の中のpの倍数でもqの倍数でもないものは(m*\(p^{2}\)*\(q^{2}\)-m*p*\(q^{2}\)-m*\(p^{2}\)*q+m*p*q)個あります。
だからｋの個数は
(n-m)(\(p^{2}\)*\(q^{2}\)-p*\(q^{2}\)-\(p^{2}\)*q+p*q)=(n-m)pq(p-1)(q-1)となる、で良いと思います。