宿題なのですが、参考書に類似問題が無くて手も足も出ません（汗）
OA=2\(\sqrt{\quad}\)2 OB=\(\sqrt{\quad}\)3 OA×OB=2（←OAベクトル・OBベクトルです）である
三角形OABがある。
垂心をHとして、Oから辺ABに垂線ONを下ろすとき、OH:ONを求めよ
これを解くために、三角比を利用する方法と、メネラウスの定理を利用
する方法を考えたが、質問のベクトルを利用する方法については、同僚
の茂呂先生よりアイデアを頂いた。感謝！！
直角三角形△ＯＡＣにおいて、
─→ → ─→ →
ＡＣ＝ｃ、ＯＣ＝ｋｂより、
→ → →
ａ＋ｃ＝ｋｂ
→
この両辺にｂを内積としてつけると、
→ → → → →
ｂ・（ａ＋ｃ）＝ｂ・ｋｂ
→ → → → → →
ｂ・ａ＋ｂ・ｃ＝ｋｂ・ｂ
２ ＋ ０ ＝ｋ ３
∴ｋ＝２／３
したがって、ＯＣ：ＣＢ＝２：１……①
直角三角形△ＯＡＮにおいて、
─→ → ─→ → →
ＯＮ＝ｎ、ＡＮ＝ｋ（ｂ－ａ）より、
→ → → →
ａ＋ｋ（ｂ－ａ）＝ｎ
→ →
この両辺に（ｂ－ａ）を内積としてつけると、
→ → → → → → → →
（ｂ－ａ）・｛ａ＋ｋ（ｂ－ａ）｝＝（ｂ－ａ）・ｎ
→ → → → → → → → → →
ｂ・ａ－ａ・ａ＋ｋ（ｂ・ｂ－２ａ・ｂ＋ａ・ａ）＝０
２ － ８ ＋ｋ（ ３ － ４ ＋ ８ ）＝０
７ｋ－６＝０
∴ｋ＝６／７
したがって、ＡＮ：ＮＢ＝６：１……②
①②より、
ＯＨ：ＨＮ＝ｓ：１－ｓ、ＡＨ：ＨＣ＝ｔ：１－ｔとおく。
─→ ─→ ─→
ＢＨ＝ｓＢＮ＋（１－ｓ）ＢＯより、
１ → → →
＝ｓ─（ａ－ｂ）＋（１－ｓ）（－ｂ）
７
ｓ→ ６ｓ →
＝─ａ＋（──－１）ｂ……③
７ ７
─→ ─→ ─→
ＢＨ＝ｔＢＣ＋（１－ｔ）ＢＡより、
１ → → →
＝ｔ─（－ｂ）＋（１－ｔ）（ａ－ｂ）
３
→ ２ｔ →
＝（１－ｔ）ａ＋（──－１）ｂ……④
３
③④より、連立して、
｛ｓ
｛─＝１－ｔ……⑤
｛７
｛
｛６ｓ ２ｔ
｛──－１＝──－１……⑥
｛７ ３
⑤×６－⑥
１８＋２
１＝７－────ｔ
３
２０
──ｔ＝６
３
１８ ９
∴ｔ＝──＝──
２０ １０
⑤に代入して、
７
ｓ＝７（１－ｔ）＝──
１０
したがって、
ＯＨ：ＯＮ＝７：１０……（答）