問１

この緑の部分をｘ軸の周りに回転させて出来る体積は、縦に切断した面
の赤色の円の面積（πsin² ｘ）を０からπまで結合させた
ものだから
　　　　　　x=π
Ｖ＝ｌｉｍ　Σ　（πsin² ｘ）⊿ｘ
　　⊿x→0　x=0

　　　π
　＝∫　（πsin² ｘ）ｄｘ　　←回転体の公式として
　　　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　π・∫｛ｆ（ｘ）｝² ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を利用しても良い。
　　　　　π　１－cos２ｘ
　＝π・∫　───────ｄｘ　　←２倍角の公式より
　　　　　0　　　２　　　　　　　　　　cos２θ＝１－２sin² θ

　　　　ｘ　　sin２ｘ　π
　＝π［─－─────］
　　　　２　　　４　　０

　　　　π　　　　１
　＝π（─－０）＝─π² ……（答）
　　　　２　　　　２

問２

緑の部分の面積を求めるため、２つのグラフの交点をまず求めると、
連立して、
｛ｙ＝２ｘｅ^-x
｛ｙ＝ｘ
ｘ＝２ｘｅ^-x
ｘ（１－２ｅ^-x）＝０
∴ｘ＝０または、ｅ^-x＝１／２
　　　　　　　　ｌｏｇ_e （１／２）＝－ｘ
　　　　　　　　ｌｏｇ_e ２^-1＝－ｘ
　　　　　　　　－ｌｏｇ_e ２＝－ｘ
　　　　　　　　ｘ＝ｌｏｇ_e ２
　　　　　　　　　＝ｌｎ２　　←自然対数はｌｎと書く。

面積は
　　　ln2
Ｓ＝∫　｛２ｘｅ^-x－ｘ｝ｄｘ
　　　0

　　　　　　　　ln2　　ln2　　　　　　　　　　ｘ² ln2
　＝［－２ｘｅ^-x］　－∫　（－２ｅ^-x）ｄｘ－［──］
　　　　　　　　0　　　0　　　　　　　　　　　２　0
　　　～～～～～～～～～～～～～～～～～～
　　　　　↑これは部分積分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ln2　１
　＝－２・ｌｎ２・ｅ^-ln2＋２［－ｅ^-x］　－─（ｌｎ２）²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　0　　２

　　　　　　　　　１　　　　　　　　　１
　＝－２・ｌｎ２・─－２ｅ^-ln2＋２ｅ⁰ －─（ｌｎ２）²
　　　　　　　　　２　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　１　　　　１
　＝－ｌｎ２－２・─　＋２－─（ｌｎ２）²
　　　　　　　　　２　　　　２

　　　１
　＝－─（ｌｎ２）² －ｌｎ２＋１　……（答）
　　　２

　≒－０．２４－０．６９＋１＝０．０７　←小数で表した答え