漸化式の特性方程式と行列の固有方程式は同じものですが、
これが成り立つのは、
もとの式が、「線形性」を持っているかどうかによります。
線形性とは、次のような性質が成り立つ作用素のときに
言える事柄です。
数列の時の作用素（差分Δ）では、
Δ{a・A(n+1)+b・A(n)}=a・ΔA(n+1)+b・ΔA(n)
となるか？
微分の時の作用素（\(\frac{d}{d}\)x）では、
（\(\frac{d}{d}\)x）{a・f(x)+b・g(x)}＝a・（\(\frac{d}{d}\)x）f(x)+b・（\(\frac{d}{d}\)x）g(x)
となるかどうか？

したがって、極限の式lim(n⇒∞)An=αのとき、αが特性方程式で
あるというのは間違っていると思います。
β=sinβ-1も違うと思います。
つまり、漸化式
An＋1=(sinAn - 1) (n≧1)　A1=a　のときは、その作用素（差分）
が線形性をもたないので、特性方程式は無いと考えた方がいいと
思います。

A(n+1)-sinA(n)+1=0より、
Δ{A(n+1)-sinA(n)+1}={A(n+2)-sinA(n+1)+1}-{A(n+1)-sinA(n)+1}
　　　　　　　　　　=ΔA(n+1)-ΔsinA(n)+Δ1
　　　　　　　　　　≠ΔA(n+1)-sinΔA(n)+Δ1
したがって、線形性はもたない。

線形性を持つ漸化式（線形３階差分方程式）の例で考えてみよう。
A(n+3)-2A(n+2)-A(n+1)+2A(n)=0とすると、
ただし、A(1)=1,A(2)=2,A(3)=3とする。
　　　ｎ
A(n)=ρ　とおくと、

　n+3　　 n+2 n+1 n
ρ　－２ρ　－ρ　＋２ρ　＝０

　ｎ　　３　　　２
ρ　（ρ　－２ρ　－ρ＋２）＝０
　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　↑これを特性方程式という。
　　　（特性方程式は、整式の形をしている。）

因数分解をして、
（ρ－１）（ρ＋１）（ρ－２）＝０∴ρ＝－１，１，２

一般項は、
　　　　　　　　　　　ｎ　　　　ｎ　　　　ｎ
Ａ（ｎ）＝Ｃ1・（－１）＋Ｃ2・１　＋Ｃ3・２

　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　ｎ
　　　　＝Ｃ1・（－１）　＋Ｃ2＋Ｃ3・２

これに、A(1)=1,A(2)=2,A(3)=3を代入して、C1,C2,C3を求めて、
　　　　　１　　　ｎ　１　１　　ｎ
Ａ（ｎ）＝―（－１）＋―＋―・２　
　　　　　６　　　　　２　３　　　

　　　　　１　　n+1　　　　　ｎ
　　　　＝―｛２　　＋（－１）　＋３｝………（答）
　　　　　６
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
群馬大学の瀬山士郎先生にアドバイスを依頼したところ
①質問者は、数列の極限があるとき、漸化式の中のＡ（ｎ）や
Ａ（ｎ＋１）をαで置き換えたものを満たさないといけないと
いうことと特性方程式を混同したのではないか。
②特性方程式を持つのは、定数係数の漸化式のときと書き足し
た方がより正確だと思う。
と言うメールを頂きました。はっきりしない点があったので、
大変助かりました。感謝！！

特性方程式について質問させていただいた川口です。
ご回答ありがとうございました。
疑問点があるのでもう少し質問させてください

漸化式の特性方程式が成り立つのは『線形性』をもつときというのは
理解しました。
先の例でA(n+1)-sinA(n)+1=0という漸化式を考えたとき
ΔA(n+1)-sinΔA(n)+Δ1が成り立てば線形性がなりたつということも
わかりました。
それで武田先生は
Δ{A(n+1)-sinA(n)+1}={A(n+2)-sinA(n+1)+1}-{A(n+1)-sinA(n)+1}
　　　　　　　　　　=ΔA(n+1)-ΔsinA(n)+Δ1

と変形されているのですが△sinA(n)とsin△A(n)の違いがわからないせいか
この変形(青色部分)がよくわかりません・・

結果を見るとたしかに
赤字部分とΔA(n+1)-sinΔA(n)+Δ1は異なるので線形性をもたず特性方程式がないですね。

また自分なりにいろいろと例をあげて考えているのですが
たとえばA(n＋1)=3A(n)＋1のときに、線形性を考えると
△{A(n＋1)-3A(n)-1}={A(n＋2)-3A(n＋1)-1}-{A(n＋1)-3A(n)-1}=△A(n＋1)-△A(n)-△1
となり線形性をもつます。
しかしここでまた疑問なのですがA(n＋1)=A(n\()^{2}\) -2を考えると
△{A(n＋1)-A(n\()^{2}\) ＋2}={A(n＋2)-A(n＋1\()^{2}\) ＋2}-{A(n＋1)-A(n\()^{2}\) ＋2}
=△A(n＋1)-△A(n\()^{2}\)＋△2
となりませんか?
この漸化式は線形性をもつから特性方程式がつかえる・・・と思うと
この問題は使えなかったりします
となると上の緑色部分の変形があやしかったのでしょうか?

最後の疑問点は特性方程式の定義そのものなのですが
先生のご回答で特性方程式は固有方程式と書かれているので調べてみた
ところ

【斉次線形N+1項間漸化式a_{N}A_{n+N}+...+a_{0}A_{n}=0を満たす
数列のなす線形空間において、数列の項を一つずらす
線形変換{A_{n}}→{A_{n+1}}の表現行列の
固有方程式がa_{N}x^N+...+a_{0}=0
であり、これを特に特性方程式と呼ぶ。
上記の固有方程式の解（固有値）を求め、
表現行列のJordan標準形を考えれば数列の漸化式はいわば
2項間漸化式A_{n+1}=a A_{n}の"高次元版"に帰着し
等比数列のようにして一般項が求まる】

⊿sinＡ（ｎ）＝sinＡ（ｎ＋１）－sinＡ（ｎ）
sin⊿Ａ（ｎ）＝sin｛Ａ（ｎ＋１）－Ａ（ｎ）｝
とちょっと違うわけです。

⊿［Ａ（ｎ＋１）－｛Ａ（ｎ）｝² ＋２］
＝⊿Ａ（ｎ＋１）－｛⊿Ａ（ｎ）｝² ＋⊿２
となれば線型性があるわけですが、残念ながら
⊿Ａ（ｎ＋１）－⊿｛Ａ（ｎ）｝² ＋⊿２
としかなりませんね。
つまり、｛⊿Ａ（ｎ）｝² ＝｛Ａ（ｎ＋１）－Ａ（ｎ）｝²
　　　　⊿｛Ａ（ｎ）｝² ＝｛Ａ（ｎ＋１）｝² －｛Ａ（ｎ）｝²
とちょっと違うわけです。
この場合も線型性を持ちませんから特性方程式はありません。

さて、ご質問の定義ですが、やけに難しい表現（正式にはこうしなけれ
ばいけないのでしょうが……(×_×;））ですが、何となく理解できました。
その通りなのですね。

Ａ（ｎ＋１）＝３Ａ（ｎ）の場合、その特性方程式は、α＝３
∴等比数列Ａ（ｎ）＝Ｃ・３ⁿ

Ａ（ｎ＋２）＝３Ａ（ｎ＋１）－２Ａ（ｎ）の特性方程式は
α² ＝３α－２
α² －３α＋２＝０
（α－１）（α－２）＝０
∴α＝１，２
したがって、
Ａ（ｎ）＝Ｃ1・１ⁿ ＋Ｃ2・２ⁿ
　　　　＝Ｃ1＋Ｃ2・２ⁿ

※残念ながら「固有値を求め、表現行列のJordan標準形を考えて」に
ついては勉強不足でわかりませんが、やってみて出来たら教えて下さい。