無理数、特に平方根（\(\sqrt{\quad}\)）の定義は、
「２回掛けると正の数ａとなるものを\(\sqrt{\quad}\)ａと表し、平方根という。」
より、
\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ａ＝ａ

この定義より、次の性質が成り立つ。
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（１）\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ＝\(\sqrt{\quad}\)ａ×ｂ
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（２）\(\sqrt{\quad}\)ａ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ≠\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ
ただし、ａ＞０，ｂ＞０とする。

証明は、両辺を２乗すると、わかる。
（１）の証明
ａ＞０，ｂ＞０より、両辺とも正の数となる。
　　　２　　　＿　　＿　２　　　＿　　＿　　　　＿　　＿
（左辺）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ　）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ）×（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ）
　　　　　　　＿　　＿　　　　＿　　＿
　　　　＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ａ）×（\(\sqrt{\quad}\)ｂ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ）＝ａ×ｂ
　　　２　　　＿＿＿　２　　　＿＿＿　　　　＿＿＿
（右辺）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ×ｂ　）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ×ｂ）×（\(\sqrt{\quad}\)ａ×ｂ）
　　　　＝ａ×ｂ
したがって、
　　　２　　　　２
（左辺）＝（右辺）より、∴左辺＝右辺

（２）の証明
ａ＞０，ｂ＞０より、両辺とも正の数となる。
　　　２　　　＿　　＿　２
（左辺）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ　）
　　　　　　　＿　　＿　　　　　＿　　＿　　　　＿　　＿
　　　　＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ａ）＋２（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ）＋（\(\sqrt{\quad}\)ｂ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ）
　　　　　　　　　　＿　　＿
　　　　＝ａ＋２（\(\sqrt{\quad}\)ａ×\(\sqrt{\quad}\)ｂ）＋ｂ
　　　２　　　＿＿＿　２　　　＿＿＿　　　　＿＿＿
（右辺）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ　）＝（\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ）×（\(\sqrt{\quad}\)ａ＋ｂ）
　　　　＝ａ＋ｂ
したがって、
　　　２　　　　２
（左辺）≠（右辺）より、∴左辺≠右辺
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質問の\(\sqrt{\quad}\)120Ｐ－1004　の変形については、
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\(\sqrt{\quad}\)120Ｐ－1004　＝\(\sqrt{\quad}\)４(30Ｐ－251)＝\(\sqrt{\quad}\)４×\(\sqrt{\quad}\)30Ｐ－251
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　　　　　　　　　　　↑性質（１）より
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　　　　　　　＝２\(\sqrt{\quad}\)30Ｐ－251
計算過程のような計算は可能なわけです。

次のような分割は出来ない。
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\(\sqrt{\quad}\)120Ｐ－1004　≠\(\sqrt{\quad}\)120Ｐ－\(\sqrt{\quad}\)1004＝２\(\sqrt{\quad}\)30Ｐ－２\(\sqrt{\quad}\)251
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　　　↑性質（２）より
質問のような変形は、不可能です。