斜辺が１のときの高さＡＢがｓｉｎ４０°、底辺ＯＢがｃｏｓ４０°
にあたります。物差しで測定してもいいですが、正確さをだすため
に教科書の巻末の三角比の表か、関数電卓を使って求めます。
簡単で素晴らしいのは関数電卓でしょう。
ｓｉｎ４０°＝0.6427876097

質問の主旨は手書きの計算ですよね。
３倍角の公式　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ－４ｓｉｎ³θ
を使って、θ＝４０°とすると、
ｓｉｎ３θ＝ｓｉｎ３×４０°＝ｓｉｎ１２０°＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{３}{２}\)より、
ｓｉｎθの３次方程式ができ、
４ｓｉｎ³θ－３ｓｉｎθ＋\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{３}{２}\)＝０となる。
ｓｉｎθ＝ｘとおいて、ｘの３次方程式を解く。
４ｘ³－３ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{３}{２}\)＝０
詳しくは、質問＜３１＞の３次方程式の解法を見てください。
ここでは概略で解きますと、
ｘ³＋ｍｘ＋ｎ＝０のとき、ｍ＝-\(\frac{3}{4}\)、ｎ＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{8}\)として
Ａ＝（－ｎ／２）＋\(\sqrt{\quad}\)｛（ｎ／２）²＋（ｍ／３）³｝
　＝（-\(\sqrt{\quad}\)3+i）/16
Ｂ＝（－ｎ／２）－\(\sqrt{\quad}\)｛（ｎ／２）²＋（ｍ／３）³｝
　＝（-\(\sqrt{\quad}\)3-i）/16
より、求まる３つの解のうち実数となるものが解である。
（ｓｉｎ４０°＞０より）
ｘ＝ｓｉｎ４０°
　＝（ ³\(\sqrt{\quad}\)Ａ）×１＋（ ³\(\sqrt{\quad}\)Ｂ）×１
　＝\(\frac{1}{2}\)（cos50°＋ｉsin50°）＋\(\frac{1}{2}\)（cos50°－ｉsin50°）
　＝cos50°
となるので、この計算は
ｓｉｎ（９０°－θ）＝ｃｏｓθ
を求めたのに過ぎませんでした。
ゴメンナサイ。

手書きでｓｉｎ４０°を求めるにはテーラー展開の無限級数を使う
ようです。弧度法で書き直して、４０°＝2π/9より
sinｘ＝ｘ－ｘ³/３！＋ｘ⁵/５！－……
に、ｘ＝2π/9を代入します。これを計算していけばより細かい
値が出るようです。