実数には有理数と無理数があります。この両者があってはじめて数直
線上のすべての点が表現されます。逆にいうと有理数だけでは数直線上
の点は飛び飛びになります。そこで、次のようなことを考えました。
任意の有理数aと、その「次」の数ｂ（a＜ｂで、その間に有理数は存
在しない）をとる。すると(a+b)/2はa＜(a+b)/2＜ｂを満たし、ｂがaの
「次」であることに矛盾する。
すなわち、どんな2有理数の間にも有理数が存在し、その結果有理数は連
続な点となり、有理数＝実数となるのではないか？
ということです。もちろん、(a+b)/2のほかにもa、ｂが正ならその相
乗平均などaとｂの間に存在しうる数は無数に考えられます。また、無
理数では同様のことはいえません。
無理数同士の４則演算の結果が無理数になるとは限らないからです。
数学ではありませんが、似たような有名な話があります。的に向かっ
てボールを投げるとまずボールは投げたところと的の中間地点に達し、
その後、その中間地点と的との中間地点に達します。このことを繰り返
してもボールは今あるところと、的との中間地点がいくらでもあるのだ
から的に近づきはするものの永遠に的には届かない、というものです。
でも実際はすぐにボールは的に届いてしまいます。一方、有理数がどん
なに、その中間値があったとしても数直線は埋まりません。この違いは
何なのでしょうか。
よろしくお願い致します。