(2)を解きました。

Ia,IcからBCに下ろした垂線の長さはそれぞれRa,Rcです。当然ながら
この垂線は平行なので、相似な直角三角形の条件が満たされて、
Ra：Rc=IaB:IcB となります。
(1)と同様に∠IaBIb=90°が示されますので、結局この問題は、
「頂点がIa(1,0)、Ib(-1,0)、Ic(α,1)である三角形IaIbIcの頂点Ibから
対辺IaIcに垂線を下ろしたとき、垂線の足Bは対辺をどのような比に内分
するか？」という問題に帰着します。

あとは平面幾何としてでも、図形と方程式としてでも解くことができます。
はじめに平面幾何で解きます。△IaIbB∽△IaIcC(一鋭角を共有する直角
三角形) よりIaIb：IaB=IaIc：IaC。
それぞれの長さは、IaIb=2、IaC=1-α、また△IaIcCでの三平方の定理から
IaIc=\(\sqrt{\quad}\)(α^2-2α+2)。よって、IaB=(2-2α)/\(\sqrt{\quad}\)(α^2-2α+2)。
ゆえに、
IaB：IcB
=(2-2α)/\(\sqrt{\quad}\)(α^2-2α+2)：{\(\sqrt{\quad}\)(α^2-2α+2)-(2-2α)/\(\sqrt{\quad}\)(α^2-2α+2)}
=2(1-α)：α^2。
同じ答えは、図形と方程式の方法でも得られます。
直線IaIc：y=-1/(1-α)・(x-1)と直交する直線IbB：y=(1-α)(x+1)の
交点Bのx座標を求めると、x=(2α-α^2)/(α^2-2α+2)となります。
よって、IaB：IcB=(1-x)：(x-α)=2(1-α)：α^2。

[コメント]
ホームページに掲載されている図はちょっとゆがんでますね。
内接円と傍接円が同じ点で辺と接しているように描いてますが、
これは誤りです。

直線IbBの式にx=αを代入すれば、
△ABCの内心Iの座標が、(α、1-α^2)と求まります。
この内心Iは3つの傍心がつくる△IaIbIcの垂心になっています。
この事実を逆に用いると、次のような定理が得られます。
「△ABCの3つの頂点から対辺へ下ろした垂線の足を結んでできる三角形の
それぞれの頂角は、もとの△ABCの垂線によって2等分される」