こんばんは。ぷりんです。早速ですが漸化式の質問をさせてください。
Ｑ，次のように定められた数列｛Ａｎ｝の一般項を求めよ。
Ａ１＝１・Ａｎ＝２Ａ（ｎ－１）＋３（n-1乗） （ｎ≧２）
３のｎ乗で割る方法（Ａｎ＝３【ｎ乗】－２【ｎ乗】）は分かったのですが，
２のｎ乗で割る方法で解くと答えが違ってしまいます。
２のｎ乗で割る方法で解いてください。宜しくお願いします。
こんばんは。ぷりんです。早速ですが漸化式の質問をさせてください。
Ｑ，次のように定められた数列｛Ａｎ｝の一般項を求めよ。
Ａ１＝１・Ａｎ＝２Ａ（ｎ－１）＋３（n-1乗） （ｎ≧２）
３のｎ乗で割る方法（Ａｎ＝３【ｎ乗】－２【ｎ乗】）は分かったのですが，
２のｎ乗で割る方法で解くと答えが違ってしまいます。
２のｎ乗で割る方法で解いてください。宜しくお願いします。
ａn ＝２ａn-1 ＋３n-1 ……①
質問＜３９５＞の「特性方程式」のところで紹介した定数係数の漸化式
（線型差分方程式）にした方が解きやすいので、式①の指数３n-1 を
消すように変形すると良い。
（解法１）
①の両辺を３n で割ると、
ａn ２ ａn-1 １
──＝─・───＋─
３n ３ ３n-1 ３
ａn
──＝ｂn とおくと、
３n
２ １
ｂn ＝─・ｂn-1 ＋─
３ ３
したがって、
１
─
２ ３ ２
ｂn ＝Ｃ（─）n ＋────＝Ｃ（─）n ＋１
３ ２ ３
１－─
３
ａ1 １
ｂ1 ＝──＝─ より
３1 ３
１ ２
─＝Ｃ（─）1 ＋１
３ ３
∴Ｃ＝－１
したがって、
２
ｂn ＝－（─）n ＋１
３
ａn ２
──＝－（─）n ＋１
３n ３
∴ａn ＝－２n ＋３n ……（答）
（解法２）
質問の式①を２n で両辺を割る方法でやってみると、
ａn ２ ａn-1 ３n-1
──＝─・───＋─
２n ２ ２n-1 ２n
ａn
──＝ｂn とおくと、
２n
１ ３
ｂn ＝ｂn-1 ＋─・（─）n-1
２ ２
１ ３
ｂn －ｂn-1 ＝─・（─）n-1
２ ２
ｎに２からｎまで代入して、上から下まで全部加えると、
１ ３ ３ ３ ３
ｂn －ｂ1 ＝─｛─＋（─）2 ＋（─）3 ＋……＋（─）n-1 ｝
２ ２ ２ ２ ２
３ ３
─・｛（─）n-1 －１｝
１ ２ ２
ｂn ＝ｂ1 ＋─・───────────
２ ３
─－１
２
ａ1 ３ ３
ｂn ＝──＋（─）n －─
２1 ２ ２
３
＝（─）n －１
２
ａn
──＝ｂn より、
２n
∴ａn ＝３n －２n ……（答）
※したがって、どちらの解法でも同じ答えになりました。