宿題なのですが、持っている参考書にも類題が載っていなくて、
さっぱりわかりません。よろしくお願いします。
１．次の条件で求められる数列{ａn}の一般項を求めよ。
①ａ1＝１ (n+1)×ａn+1=n×an
②a1=1 n×ａn+1=(n+1)×an
（ａn+1は数列{an}の項数がn+1ということです）
２．数列{an}において、初項から第n項までの和SnがSn=n-anで与
えられる時、a1,a2,a3および、{an}の一般項を求めよ。
宿題なのですが、持っている参考書にも類題が載っていなくて、
さっぱりわかりません。よろしくお願いします。
１．次の条件で求められる数列{ａn}の一般項を求めよ。
①ａ1＝１ (n+1)×ａn+1=n×an
②a1=1 n×ａn+1=(n+1)×an
（ａn+1は数列{an}の項数がn+1ということです）
２．数列{an}において、初項から第n項までの和SnがSn=n-anで与
えられる時、a1,a2,a3および、{an}の一般項を求めよ。
問１①
（ｎ＋１）ａn+1 －ｎａn ＝０に１からｎまで代入して、
上から下まで全部足すと、
２ａ2 －１ａ1 ＝０
３ａ3 －２ａ2 ＝０
４ａ4 －３ａ3 ＝０
……
＋）（ｎ＋１）ａn+1 －ｎａn ＝０
──────────────────
（ｎ＋１）ａn+1 －１ａ1 ＝０
したがって、
（ｎ＋１）ａn+1 ＝ａ1 ＝１
１
ａn+1 ＝───
ｎ＋１
１
∴ａn ＝─ ……（答）
ｎ
問１②
ｎａn+1 ＝（ｎ＋１）ａn を変形して、
ｎ＋１
ａn+1 ＝───ａn より、
ｎ
ｎ＋１ ｎ ｎ－１ ２
ａn+1 ＝───・───・───・……・─ａ1 ＝（ｎ＋１）・１＝ｎ＋１ ｎ ｎ－１ ｎ－２ １
∴ａn ＝ｎ ……（答）
問２
ａn ＝Ｓn －Ｓn-1
＝（ｎ－ａn ）－（ｎ－１－ａn-1 ）
＝１－ａn ＋ａn-1 より、
２ａn ＝ａn-1 ＋１
１ １
ａn ＝─ａn-1 ＋─
２ ２
したがって、
公式 ａn ＝ｐ・ａn-1 ＋ｑのとき ｑ ａn ＝Ｃ（ｐ）n ＋─── １－ｐ |