数学の問題で去年明治学院で出題された問題だそうです．不等式
の問題と思うのですが・・・教えて下さい．
問１
ｍ，ｎを正の整数とする．ｍをｎで割ったときの余りは，
ｍを２ｎで割ったときの余りよりも大きくならないことを
証明せよ．
問２
負でない４つの実数ａ，ｂ，ａ’，ｂ’が不等式
ａ＋ルートａｂ＋ｂ＞＝１
ａ’＋ルートａ’ｂ’＋ｂ’＞＝１
を満たすとき、０＜＝ｔ＜＝１である任意のｔに対して
ｘ＝ｔａ＋（１－ｔ）ａ’
ｙ＝ｔｂ＋（１－ｔ）ｂ’
とおくと、
ｘ＋ルートｘｙ＋ｙ＞＝１
が成り立つことを示しなさい。
忙しいとは思いますがよろしく願います。
問１
ｍ÷ｎ＝ａ余りｂより、ｎ＞ｂ＞０
ｍ＝ｎａ＋ｂ……①
ｍ÷２ｎ＝ｃ余りｄより、２ｎ＞ｄ＞０
ｍ＝２ｎｃ＋ｄ……②
①②より、
ｎａ＋ｂ＝２ｎｃ＋ｄ
－２ｎｃ＋ｎａ＋ｂ－ｄ＝０
^^^^^^^
２ｎの合同式を考えて、
ｎａ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）……③
（ｉ）ａが偶数の時
ａ＝２ｅ を③に代入すると、
ｎ（２ｅ）＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）
２ｎｅ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）
^^^^^
ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）
ｂ≡ｄ（ｍｏｄ ２ｎ）……④
（ｉｉ）ａが奇数の時
ａ＝２ｅ＋１ を③に代入すると、
ｎ（２ｅ＋１）＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）
２ｎｅ＋ｎ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）
^^^^^
ｎ＋ｂ－ｄ≡０（ｍｏｄ ２ｎ）
ｎ＋ｂ≡ｄ（ｍｏｄ ２ｎ）……⑤
④⑤より、余りｂは余りｄよりは大きくはならない。……（答）
問２
３つの点Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ａ′，ｂ′），Ｐ（ｘ，ｙ）が同じ不等式
ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）＋ｙ≧１……①
が表す領域の範囲内にあるし、
３つの点Ａ，Ｂ，Ｐの関係は、線分ＡＢを（１－ｔ）：ｔに内分する点が
Ｐとなる。
したがって、①の範囲内にある２点Ａ，Ｂを結ぶ線分ＡＢを
（１－ｔ）：ｔに内分する点Ｐが、この①の範囲内にあることを示せば
よい。
不等式①を変形すると、
相加・相乗平均
ｘ＋ｙ
───≧\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）
２
より、
ｘ＋ｙ≧２\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）を代入すると、
左辺＝ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）＋ｙ
＝ｘ＋ｙ＋\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）
＝２\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）＋\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）
＝３\(\sqrt{\quad}\)（ｘｙ）≧１←右辺
両辺を２乗して、
９ｘｙ≧１
１
∴ｙ≧── ……②
９ｘ
②の領域は、赤色部分のような凸領域となるので、
この領域内にある２点Ａ（ａ，ｂ）とＢ（ａ′，ｂ′）を結んだ
線分ＡＢを（１－ｔ）：ｔに内分する点Ｐ（ｘ，ｙ）は、②の領
域内にあるのは自明である。……（答）
※凸領域内の２点間の内分点がその領域に含まれることが自明で
あることの証明についてはよく分からない。「自明」とは、見て
明らかなことを言うと思う。