問１
曲線の長さを求める公式より、
１　　　　　ｄｙ
∫\(\sqrt{\quad}\)｛１＋（──）² ｝ｄｘ
０　　　　　ｄｘ

　１　　　　１
＝∫\(\sqrt{\quad}\)｛１＋─（ｅ^x－ｅ^-x）² ｝ｄｘ
　０　　　　４

　１　１
＝∫　─（ｅ^x＋ｅ^-x）ｄｘ
　０　２

　１　　　　　１
＝─［ｅ^x－ｅ^-x］
　２　　　　　０

　１　　　１
＝─（ｅ－─）……（答）
　２　　　ｅ

問２
曲線の長さを求める公式より、
２π　　　ｄｘ　　　　ｄｙ
∫　\(\sqrt{\quad}\)｛（──）² ＋（──）² ｝ｄｔ
０　　　　ｄｔ　　　　ｄｔ

　２π
＝∫　\(\sqrt{\quad}\)｛ｅ^-2t（sinｔ＋cosｔ）² ＋ｅ^-2t（sinｔ－cosｔ）² ｝ｄｔ
　０

　２π
＝∫　\(\sqrt{\quad}\)２・ｅ^-tｄｔ
　０

　　　　　　　　２π
＝\(\sqrt{\quad}\)２・［－ｅ^-t］
　　　　　　　　０

＝\(\sqrt{\quad}\)２・（１－ｅ^-2π）……（答）

問３
広義の積分より
∞　　　ｄｘ
∫　───────
１　ｘ（ｘ² ＋１）

　　　　　ｂ　１　　ｘ
＝ｌｉｍ　∫（─－────）ｄｘ
　ｂ→∞　１　ｘ　ｘ² ＋１

　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　ｂ
＝ｌｉｍ　［log｜ｘ｜－──log｜ｘ² ＋１｜］
　ｂ→∞　　　　　　　　２　　　　　　　　１


＝ｌｉｍ　｛log｜ｂ｜－log\(\sqrt{\quad}\)（ｂ² ＋１）＋log\(\sqrt{\quad}\)２｝
　ｂ→∞

　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)２・｜ｂ｜
＝ｌｉｍ　log────────
　ｂ→∞　　　\(\sqrt{\quad}\)（ｂ² ＋１）

　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)２
＝ｌｉｍ　log────────
　ｂ→∞　　　　　　　　１
　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)（１＋──　）
　　　　　　　　　　　ｂ²


＝log\(\sqrt{\quad}\)２……（答）

問４
複雑な置換積分を使います。
　　ｘ
tan──＝ｕとおくと、
　　２

　　　　　　　ｘ　　　　ｘ　　　　ｘ
cosｘ＝cos２・─＝cos² ──－sin² ─
　　　　　　　２　　　　２　　　　２

　　　　　ｘ　　　　ｘ
　　cos² ──－sin² ─
　　　　　２　　　　２
　　─────────
　　　　　　　ｘ　　　　　　　　　　ｘ
　　　　cos² ──　　　　　１－tan² ─
　　　　　　　２　　　　　　　　　　２　　１－ｕ²
＝───────────＝───────＝────
　　　　　　１　　　　　　　　　　　ｘ　　１＋ｕ²
　　─────────　　１＋tan² ──
　　　　　　　ｘ　　　　　　　　　　２
　　　　cos² ──
　　　　　　　２

　　　　　　　　１－ｕ² 　　３＋ｕ²
２＋cosｘ＝２＋─────＝─────
　　　　　　　　１＋ｕ² 　　１＋ｕ²

微分して、
１　　　ｄｘ
─・─────＝ｄｕ
２　　　　ｘ
　　cos² ──
　　　　　２

　　　　　　　ｘ　　　　　　　２ｄｕ
ｄｘ＝２cos² ──ｄｕ＝────────
　　　　　　　２　　　　　　　　　ｘ
　　　　　　　　　　　　１＋tan² ──
　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　２ｄｕ
　　＝────
　　　１＋ｕ²

ｘの範囲も置換して、
ｘ｜０─→π／２
────────
ｕ｜０─→１

したがって、問題式を置換して、
１　１＋ｕ² 　　２
∫　────・────ｄｕ
０　３＋ｕ² 　１＋ｕ²

　１　　２
＝∫　────ｄｕ
　０　３＋ｕ²

またまた置換積分をします。
ｕ＝\(\sqrt{\quad}\)３・tanθとおくと、
　　　　　　　ｄθ
ｄｕ＝\(\sqrt{\quad}\)３・────
　　　　　　cos² θ

ｕ｜０─→１
────────
θ｜０─→π／６

したがって、
π/6　　２　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３
∫　───────・────　ｄθ
０　３＋３tan² θ　　cos² θ

　２\(\sqrt{\quad}\)３　π/6　　　２\(\sqrt{\quad}\)３　　　π/6
＝───・∫　ｄθ＝───・［θ］
　　３　　０　　　　　３　　　　０

　２\(\sqrt{\quad}\)３　π　\(\sqrt{\quad}\)３
＝───・─＝──π……（答）
　　３　　６　　９

問５
部分積分を使う。
１
∫　ｘ・tan^-1ｘｄｘ
０

　　ｘ² 　　　　　１　　１　ｘ² 　　１
＝［──・tan^-1ｘ］　－∫　──・─────ｄｘ
　　２　　　　　　０　　０　２　　１＋ｘ²
　　　　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^^
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　　　　　　　　　　　　１
tan^-1ｘを微分すると、────となることを示すと、
　　　　　　　　　　　１＋ｘ²

θ＝tan^-1ｘより、
ｘ＝tanθ

ｄｘ　　１　　　cos² θ＋sin² θ
──＝────＝────────＝１＋tan² θ＝１＋ｘ²
ｄθ　cos² θ　　　　cos² θ
逆にして、
ｄθ　　　１
──＝────
ｄｘ　１＋ｘ²
したがって、
ｄ　　　　　　　　１
──tan^-1ｘ＝─────
ｄｘ　　　　　１＋ｘ²
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　　　１　π　１　１　　ｘ²
与式＝─・─－─・∫　────ｄｘ
　　　２　４　２　０　１＋ｘ²

　　　π　１　１　　　　１
　　＝─－─・∫（１－────）ｄｘ
　　　８　２　０　　　１＋ｘ²

　　　π　１　　　１　１　１　　１
　　＝─－─・［ｘ］＋─・∫　────ｄｘ
　　　８　２　　　０　２　０　１＋ｘ²

　　　π　１　　　１　　　　　　１
　　＝─－─・１＋─・［tan^-1ｘ］
　　　８　２　　　２　　　　　　０

　　　π　１　１　π
　　＝─－─＋─・─
　　　８　２　２　４

　　　π　１
　　＝─－─　……（答）
　　　４　２

※ちょっと大変でした。質問は３題ぐらいだと楽なのですが(^_^)￥