大学の数学なので、ちょっと分かりません。
誰かアドバイス下さい。
※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

これは手持ちの
Paul Halmos: Measure Theory p.19 の (11)
に証明抜きで言及されており,
伊藤清三: ルベーグ積分入門 p. 11
には「... なることは容易に験証される。」
と出ているものですね。
きっと簡単なんでしょう (笑)。

χ(x, A(n)) は 0 と 1 しか取りませんから各々調べましょう。

lim sup χ(x, A(n)) = 1 と仮定すると, それは無限部分列 {ν_n} で
χ(x, A(ν_n)) = 1 なるものがあることを意味します。
即ち x ∈A(ν_n) ですね。
{ν_n} は無限列ですから当然幾らでも大きい数があります。
右辺の lim sup A(n) = ∩_(n=1)^∞∪_(i=n)^∞ A(i) です。
上に述べたことから幾らでも大きい i で
x ∈A(i)
となるものがあります。即ち n によらず
x ∈∪_(i=n)^∞ A(i)
が成立します。ですから
x ∈ lim sup A(n) = ∩_(n=1)^∞∪_(i=n)^∞ A(i).
即ち χ(x, lim sup A(n)) = 1.

次に
lim sup χ(x, A(n)) = 0
と仮定すると, これはある番号 N 以上
χ(x, A(n)) = 0
と同じことで, つまり
n ≧ N⇒￢x ∈A(n) (x は A(n) の要素ではない)
ということを意味しています。
すると
n ≧ N ⇒￢x ∈∪_(i=n)^∞ A(i)
なのですから当然
￢x ∈lim sup A(n) = ∩_(n=1)^∞∪_(i=n)^∞ A(i).
即ち
χ(x, lim sup A(n)) = 0
となるわけです。