サイコロをｎ回投げて、ｘｙ平面上の点Ｐ0、Ｐ1、・・・、
Ｐｎを次の規則(ａ）、(ｂ）によって定める。
(ａ）Ｐ0＝(０，０)
(ｂ）１≦ｋ≦ｎのとき、ｋ回目に出た目の数が、
１，２，３，４のときには、Ｐk-1をそれぞれ東、北、
西、南に(\(\frac{1}{2}\)）^kだけ動かした点をＰkとする。
また、ｋ回目に出た目の数が５，６のときには、
Ｐk＝Ｐk-1とする。ただし、ｙ軸の正の向きを北と定める。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1）Ｐnがｘ軸上にあれば、Ｐ0、Ｐ1、・・・、Ｐn-1も
すべてｘ軸上にあることを示せ。
(2）Ｐnが第1象限{(x，y）│ｘ＞０、ｙ＞０}にある
確率をｎで表せ。
問１
＿ ＿
ｐ→∀ｑの証明を、その対偶である∃ｑ→ｐとして、証明する。
つまり、
「あるＰkがｘ軸上になければ、Ｐnはｘ軸上にない。ただし、0≦k＜n」
を証明するわけである。 １
Ｐk がｘ軸上にないから、ｘ軸から（─）k 離れていることになる。
２
１ １ １ １ １
１＋─＋（─）2 ＋（─）3 ＋（─）4 ＋……＝──────＝２
２ ２ ２ ２ １
１－─
２
より、
∞ １
Σ （─）m ＝２－１＝１
m=1 ２
∞ １ １ １
Σ （─）m ＝１－─＝─
m=2 ２ ２ ２
∞ １ １ １ １ １
Σ （─）m ＝─－（─）2 ＝──＝（──）2
m=3 ２ ２ ２ ４ ２
したがって、
１ ∞ １
（─）k ＝Σ （──）m
２ m=k+1 ２
Ｐkの次から、最小回数でも無限個加えなくてはｘ軸に戻らないから、
Ｐnはｘ軸上にはないことが言える。
証明完了
問２
サイコロ１回目は軸上にあるから、２回目から考える。
また、ｘ軸とｙ軸は同様なので、ｙ軸の方のみ考えて、２倍する。
計算は、次の場合に初めて第１象限に出るとして考える。
ｎ＝２の場合
１ １ １ ２
北→東より、─×─＝── ∴ｐ（２）＝──
６ ６ ３６ ３６
ｎ＝３の場合
１ ２ １ ２
北→休み→東より、─×─×─＝───
６ ６ ６ ２１６
２ １ １ ２
休み→北→東より、─×─×─＝───
６ ６ ６ ２１６ １ １ １ １
北→北→東より、 ─×─×─＝───
６ ６ ６ ２１６
１ １ １ １
北→南→東より、 ─×─×─＝───
６ ６ ６ ２１６
１２
∴ｐ（３）＝───
２１６
ｎ＝４の場合
１ ２ ２ １ ４
北→休み→休み→東より、─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
２ １ ２ １ ４
休み→北→休み→東より、─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
２ ２ １ １ ４
休み→休み→北→東より、─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ ２ １ １ ２
北→休み→北→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ ２ １ １ ２
北→休み→南→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ １ ２ １ ２
北→北→休み→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ １ ２ １ ２
北→南→休み→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
２ １ １ １ ２
休み→北→北→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
２ １ １ １ ２
休み→北→南→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ １ １ １ １
北→北→北→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ １ １ １ １
北→北→南→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ １ １ １ １
北→南→北→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
１ １ １ １ １
北→南→南→東より、 ─×─×─×─＝────
６ ６ ６ ６ １２９６
５６
∴ｐ（４）＝────
１２９６
以上をまとめると、
１ １ ２
ｐ（２）＝２×─×─＝──
６ ６ ３６
１ ２ １ １２
ｐ（３）＝２×｛2 Ｃ1 ＋2 Ｃ0 ｝×─×─×─＝───
６ ６ ６ ２１６
１ ２ １ ５６
ｐ（４）＝２×｛3 Ｃ2 ＋3 Ｃ1 ＋3 Ｃ0 ｝×──×（──）2 ×─＝────
６ ６ ６ １２９６
したがって、
１ ２ １
ｐ（ｎ）＝２×｛n-1Ｃn-2＋n-1Ｃn-3＋……＋n-1Ｃ0 ｝×──×（──）n-2×──
６ ６ ６
（ｘ＋１）n-1＝ｘn-1＋n-1Ｃn-2ｘn-2＋n-1Ｃn-3ｘn-3＋……＋n-1Ｃ0 ｘ0より、ｘ＝１とおくと、
２n-1 ＝１＋n-1Ｃn-2＋n-1Ｃn-3＋……＋n-1Ｃ0 より、
n-1Ｃn-2＋n-1Ｃn-3＋……＋n-1Ｃ0 ＝２n-1 －１
これを代入して、
１ ２ １
ｐ（ｎ）＝２×（２n-1 －１）×──×（──）n-2 ×──
６ ６ ６
２n-1 （２n-1 －１）
＝────────
６n
２2n-2－２n-1
＝──────
６n
１ ２ １ １
＝─・（─）n －─・（─）n ……①
４ ３ ２ ３
したがって、Ｐnが第１象限にあるのは、ｎが２からｎまでの場合の和
であるから、①より
Ｐ（ｎ）＝ｐ（１）＋ｐ（２）＋ｐ（３）＋……＋ｐ（ｎ）
ｎ
＝Σ ｐ（ｋ）
k=1
ｎ ２ ２ １ １
＝Σ ｛───・（──）k-1 －─・（─）k-1 ｝
k=1 １２ ３ ６ ３
１ ２ １ １
─｛１－（─）n ｝ ─｛１－（─）n ｝
６ ３ ６ ３
＝──────── －────────
２ １
１－─ １－─
３ ３
１ ２ １ １
＝─｛１－（─）n ｝ －─｛１－（─）n ｝
２ ３ ４ ３
１ １ ２ １ １ １
＝─－─（─）n －─＋─（─）n
２ ２ ３ ４ ４ ３
１ １ ２ １ １
＝─－─（─）n ＋─（─）n ……（答）
４ ２ ３ ４ ３
※もう少しスマートなやり方はないのだろうか？