定積分は数値になるから、
１　　　　　　　　　　１
∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｉ、　∫ｇ（ｔ）ｄｔ＝Ｊとおくと、
０　　　　　　　　　　０

　　　　　　　　１
ｆ（ｘ）＝ｅ^x ＋∫｛ｆ（ｔ）＋ｇ（ｔ）｝ｄｔ
　　　　　　　　０

　　　　　　　　１　　　　　　　１
　　　　＝ｅ^x ＋∫ｆ（ｔ）ｄｔ＋∫ｇ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　０　　　　　　　０

　　　　＝ｅ^x＋Ｉ＋Ｊ……①

　　　　　　　　　１
ｇ（ｘ）＝ｘｅ^x ＋∫｛ｆ（ｔ）－ｇ（ｔ）｝ｄｔ
　　　　　　　　　０

　　　　　　　　　１　　　　　　　１
　　　　＝ｘｅ^x ＋∫ｆ（ｔ）ｄｔ－∫ｇ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　　０　　　　　　　０

　　　　＝ｘｅ^x＋Ｉ－Ｊ……②

①より、
　　１　　　　　　　１
Ｉ＝∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫（ｅ^t＋Ｉ＋Ｊ）ｄｔ
　　０　　　　　　　０

　　　　　　　　　　　１
　＝［ｅ^t ＋Ｉｔ＋Ｊｔ］＝ｅ＋Ｉ＋Ｊ－１
　　　　　　　　　　　０
したがって、
Ｊ＝１－ｅ……③

②より、
　　１　　　　　　　１
Ｊ＝∫ｇ（ｔ）ｄｔ＝∫（ｔｅ^t＋Ｉ－Ｊ）ｄｔ
　　０　　　　　　　０

　　　　　　　　　　　　　　　１
　＝［ｔｅ^t －ｅ^t ＋Ｉｔ－Ｊｔ］＝ｅ－ｅ＋Ｉ－Ｊ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　０

　＝Ｉ－Ｊ＋１
したがって、
２Ｊ＝Ｉ＋１……④

③④より、
２（１－ｅ）＝Ｉ＋１
∴Ｉ＝２－２ｅ－１
　　＝１－２ｅ……⑤

したがって、③⑤より、
ｆ（ｘ）＝ｅ^x＋（１－２ｅ）＋（１－ｅ）
　　　　＝ｅ^x＋２－３ｅ……（答）
ｇ（ｘ）＝ｘｅ^x＋（１－２ｅ）－（１－ｅ）
　　　　＝ｘｅ^x－ｅ……（答）