ある参考書をみたところ
一般に
\(\sqrt{\quad}\)a=b ⇔ a=\(b^{2}\), b≧0 が成立すると書いてありました
そして 『a≧0 は別にたてる必要がない。なぜならa=\(b^{2}\)の右辺の形が
a≧0を保証しているからだ』と書いてありました。しかし いまいち納得
がいきません
a≧0もたてた方がいいように思うんですが…
このような問題 例えば
\(\sqrt{\quad}\)（2x-1）＝1-x において
1-x≧0⇔ x≦1 とすれば 2x-1≧0をたてる必要は本当にないといえる
のでしょうか？
この問題においては \(\sqrt{\quad}\)（2x-1）＝1-xを両辺2乗してでてくる解は
x＝2+\(\sqrt{\quad}\)2又は2-\(\sqrt{\quad}\)2で x≦1だから 2-\(\sqrt{\quad}\)2 が正解であり
これは同時に 2x-1≧0もみたしてますが
このように b≧0 によってみちびかれた
解は必ず a≧0によってでた範囲にあてはまる
となぜいえるのでしょうか？
よろしくお願いいたします
\(\sqrt{\quad}\)ａ＝ｂ⇔ａ＝ｂ2 ，ｂ≧０
同値
\(\sqrt{\quad}\)ａ＝ｂより、
左辺が無理数であるためには、ａ≧０（ａ＜０ならば虚数になる）
\(\sqrt{\quad}\)ａ＝＋\(\sqrt{\quad}\)ａのことだから、ｂ≧０
したがって、ａ－ｂ座標系の第１象限となる。
一方、ａ＝ｂ2 は、ｂ2 ≧０より、ａ≧０
ｂ2 ＝（\(\pm\)ｂ）2 より、
第１，第４象限となる。
黄色の集合⊂水色の集合
同値となるためには、黄色の集合＝水色の集合とならなくてはならない
ので、条件ｂ≧０が必要となる。
では、具体例で考えてみよう。
\(\sqrt{\quad}\)（２ｘ－１）＝１－ｘ
これは
｛ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)（２ｘ－１）
｛ｙ＝１－ｘ
の交点Ａが解である。
これを２乗すると、
２ｘ－１＝（１－ｘ）2
これは
｛ｙ＝２ｘ－１
｛ｙ＝（１－ｘ）2
の交点Ａ，Ｂが解となる。
交点Ａ，Ｂのどちらが元の方程式の解となるかは、条件が必要となる。
無理数だから、\(\sqrt{\quad}\)の中身が（２ｘ－１）≧０より、
１
ｘ≧─……①
２
\(\sqrt{\quad}\)（２ｘ－１）＝＋\(\sqrt{\quad}\)（２ｘ－１）だから、（１－ｘ）≧０より、
ｘ≦１……②
①②より、条件は
１
─≦ｘ≦１
２
この条件より、２乗した方程式の解はＡの方のみとなる。
※黄色の集合と水色の集合の論理からすると、ａの条件ｘ≧１／２は
いらないのかもしれない。つまり、ｂの条件ｘ≦１のみで判断でき
るのであろう。
（しかし、私は１／２≦ｘ≦１を条件にしている。）