x.y.zが任意の実数値をとるとき
不等式
x＋y＋z≦a×\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)＋\(y^{2}\)＋\(z^{2}\))
が常に成立する。
このとき定数aの最小値を求めよ
(解説)
ベクトル(1,1,1)と(x,y,z)にCauchy-Schwarzをつかって、
x+y+z≦\(\sqrt{\quad}\)[3(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+\(z^{2}\))]
等号はx=y=zのとき、またそのときのみ成り立つ
min(a)=\(\sqrt{\quad}\)3
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上の問題で解説が書かれているのですが
この解説がまったくわかりません(汗
また空間ベクトルにシュワルツ不等式を使っていますが
空間ベクトルとシュワルツの不等式について
図を用いて丁寧に解説していただけないでしょうか?
御忙しい中恐縮ですがよろしくお願いします
シュワルツの不等式は、ベクトルの内積の定義より導かれたものなので、
→ → → →
（ｘ・ｙ）2 ≦｜ｘ｜2 ｜ｙ｜2
問題を解くときにベクトルが使われる。
なお、内積の定義は、
→ → → →
ｘ・ｙ＝｜ｘ｜｜ｙ｜cosθ
ｘ＋ｙ＋ｚ≦ａ\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）
の最小値ａを出すために、ベクトルを使うのは奇異に思うが、シュワルツ
の不等式を使うためには仕方がない。
→ →
ｘ＝（ｘ，ｙ，ｚ） ｜ｘ｜2 ＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2
→ →
ｙ＝（１，１，１） ｜ｙ｜2 ＝３
内積
→ →
ｘ・ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ
シュワルツの不等式より、
（ｘ＋ｙ＋ｚ）2 ≦３（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）
平方根をとって、
ｘ＋ｙ＋ｚ≦\(\sqrt{\quad}\)３\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ）
したがって、
ｘ，ｙ，ｚは任意の実数値のとき、上のシュワルツの不等式が成り立つ。
なお、ｘ＝ｙ＝ｚのとき、等号が成り立つ。
ａは\(\sqrt{\quad}\)３より大きければ、この不等式は成り立つが、その中で最小値は
∴ａ＝\(\sqrt{\quad}\)３……（答）