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ＡＤは求まるのですが、ＡＰはわかりません。
Ｔ．Ｋさんからアドバイスをいただきました。感謝！！

武田先生こんばんわ。川口です。
漸化式の問題のご解答ありがとうございました。
とても助かりました。

尚、のえさんの未解決問題質問＜４３１＞を解答することができましたので
一度私の回答を吟味してやっていただけないでしょうか?

［問題］
円に内接する四角形ABPCは次の条件（ａ），（ｂ）を満たすとする。
（ａ）三角形ABCは正三角形である。
（ｂ）APとBCの交点は線分BCをｐ：（１－ｐ）
　　　[０＜ｐ＜１］の比に内分する。
このとき，ベクトルAP→をAB→，AC→，ｐを用いて表せ。

［回答］
余弦定理から導く方法もありますが、美しくないので別の方法で・・。

問題文の図形を座標平面上に対象性を駆使して設定してやる。
(AP→をAB→とAC→で表せばよいので、ACの長さ=2と設定しても、差し支えない)
(また∠ACB=60°でx軸は∠ACBを二等分するものとする。30°、30°にわけられる)
(そしてCBとAPの交点をQと取る)
以上より下の図が成り立つ。

円の方程式について、中心は{(4/\(\sqrt{\quad}\)3)÷2}より
{x-(2/\(\sqrt{\quad}\)3)}^2 + (y\()^{2}\)=\(\frac{4}{3}\)

AQ→ =(1-p)AB→ + PAC\(\vec{AP}\)→=kAQ→
=k{(1-p)AB→ + PAC→}・・・・・・・・・・・・・・・(*)
=(\(\sqrt{\quad}\)3×k , (2p-1)×k)

∴P (\(\sqrt{\quad}\)3×k , (2p-1)×k)

円の方程式{x-(2/\(\sqrt{\quad}\)3)}^2 + (y\()^{2}\)=\(\frac{4}{3}\)　に代入してKを求めると
K=(1/{\(p^{2}\) + p + 1})

(*)に代入して答えを得る。

AP→ = {(1-p)/(\(p^{2}\) + p +1)}AB→　+ {P/(\(p^{2}\) + p +1)}AC→

以上

素晴らしいです。作図の問題は軸の設定がポイントですね。
なお、（＊）のｋの値は
　　　　１
ｋ＝──────
　　ｐ² －ｐ＋１
となると思います。

したがって、

─→　　　　１　　　　　　　　─→　　─→
ＡＰ＝──────｛（１－ｐ）ＡＢ＋ｐＡＣ　｝……（答）
　　　ｐ² －ｐ＋１