武田先生お久しぶりです。
下記の問題が解答はあるのですが解説の意味がよくわからなくてこまっ
ております。
質問させてください

＝問題①＝
(A)
{(x+y\()^{7}\)}-(\(x^{7}\))-(\(y^{7}\))を整数係数の範囲で因数分解せよ。
(B)
{(x+y\()^{n}\)}-(\(x^{n}\))-(\(y^{n}\))が{(\(x^{2}\))+(xy)+(\(y^{2}\))}*(x..yの多項式)
の形に表される様な2以上の自然数nを小さい方から3つ求めよ

＝解答＝
(A)
{(x+y\()^{7}\)}-(\(x^{7}\))-(\(y^{7}\)) = 7xy(x+y){(\(x^{2}\))+(xy)+(\(y^{2}\))}^2

(B)
f(5) = 5xy(x+y)(\(x^{2}\)+xy+\(y^{2}\))
f(7) = 7xy(x+y)(\(x^{2}\)+xy+\(y^{2}\)\()^{2}\)
f(11) = 11xy(x+y)(\(x^{2}\)+xy+\(y^{2}\))(\(x^{6}\)+3\(x^{5}\)y+7\(x^{4}\)\(y^{2}\)+9\(x^{3}\)\(y^{3}\)+7\(x^{2}\)\(y^{4}\)+3x\(y^{5}\)+\(y^{6}\))

(Bの解説そのいち)
\(f_{n}\)(x,y)={(x+y\()^{n}\)}-(\(x^{n}\))-(\(y^{n}\)) とおく。
\(z^{2}\) + z + 1 = 0 の根を w とおく。

\(f_{n}\)(x,y)が{(\(x^{2}\))+(xy)+(\(y^{2}\))}*(x..yの多項式)
の形に表されたとすると \(f_{n}\)(w,1)=0 である。
自然数 n に対して
「{(w+1\()^{n}\)}-(\(w^{n}\))-(\(1^{n}\))=0」⇔「n=6k+1, n=6k-1（kは自然数）」
であることは複素平面を睨んでればわかる。
（注：w は１の原始３乗根、w+1 は１の原始６乗根。）

逆に n=6k+1 または n=6k-1（kは自然数）ならば
\(f_{n}\)(wy,y)=(\(y^{n}\))\(f_{n}\)(w,1)=0
\(f_{n}\)((\(w^{2}\))y,y)=(\(y^{n}\))\(f_{n}\)(\(w^{2}\),1)=0
だから \(f_{n}\)(x,y) は (x-wy)(x-(\(w^{2}\))y)=(\(x^{2}\))+xy+(\(y^{2}\)) を因子に持つ

(Bの解説その2)

((t+1\()^{n}\) - \(t^{n}\) -1)が(\(t^{2}\)+t+1)で割り切れるようなnを探す。

(\(t^{2}\)+t+1)=0の解の一つはa=cos(π/3)+isin(π/3)
f(n,t)=((t+1\()^{n}\) - \(t^{n}\) -1)とすると
f(n,a)
=(cos(π/6)+isin(π/6)\()^{n}\) - (cos(π/3)+isin(π/3)\()^{n}\) - 1
=(cos(nπ/6)-cos(nπ/3)-1) + i(sin(nπ/6)-sin(nπ/3))

cos(nπ/6)-cos(nπ/3)-1=0 }
sin(nπ/6)-sin(nπ/3)=0　 }　⇒　略　⇒　n=6k\(\pm\)1

以上二つの解説より
{(x+y\()^{n}\)}-(\(x^{n}\))-(\(y^{n}\))が{(\(x^{2}\))+(xy)+(\(y^{2}\))}*(x..yの多項式)
の形に表される様な2以上の自然数nは
n=6k+1, n=6k-1 （kは自然数）

(∴)解答のようになる。