えー、2年10組12番というのは、今日の3時までの話で、
クラス替えが、離任式の後にあったんですね。
だから、投稿者の名前が変わりましたので宜しく。
ああ、もう3年か、受験生だな、頑張ろう！！
前置きはここまでにしておいて、質問です。
質問とは言っても、先生が、「知っておくと便利だから。」と紹介程度
で終わりました。でも、具体的に知りたくて、投稿しました。
くだらない質問です。
問１「マクローリン展開」とは、何ですか？
問２
「∞になるスピード」というのは？
後者については、見ただけで（問題を見ただけで）
一瞬で極限が分かるという驚きもの。
ちなみに、
・・・ｌｏｇｘ・・\(\sqrt{\quad}\)ｘ、ｘ、ｘ2 ・・・ｅx・・・・
←遅い――――――――――――――――――――速い→
こう教えられただけで、何故∞になるスピードの
速い遅いが分かるのか、そして、そんなものがあったのか？というのを
疑問に思いました。
そして、ｋ＞０として、
ｌｉｍｘ^kｌｏｇｘ＝０になる。
x→+0
と教えられ、いずれも納得いかずに授業が終了しました。
また何故、上の問題が０に収束するのかがわかりません。
ごちゃごちゃしてすみません。２問ほどですが宜しくお願いします。
数Ⅲって難しいですね。
もう高校３年生ですね。ますます数学の勉強頑張ってください。
問１
マクローリン展開については、質問＜８９＞まち「テイラー展開」のところ
で書いたことを再録します。
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１８世紀前半にイギリスで活躍した数学者Brook Taylorが考
えた展開で、
(b-a)2 (b-a)3
f(b)＝f(a)＋(b-a)f'(a)＋── f''(a)＋ ── f'''(a)＋……
２！ ３！
テイラー展開とかテイラー級数とか言う。
関数f(x)が連続で微分可能な区間であれば、テイラー展開が
作れる。
ｂ＝ｘ、ａ＝０とすると、
x2 x3
f(x)＝f(0)＋xf'(0)＋── f''(0)＋ ── f'''(0)＋……
２！ ３！
となり、関数f(x)は０の所での導関数で表現できる。
このあたりを詳しく調べたマクローリンの名前をつけて、
マクローリン展開とも言う。一般にテイラー展開という。
例えば、
sinｘ＝ｘ－ｘ3／３！＋ｘ5／５！－ｘ7／７！＋……
cosｘ＝１－ｘ2／２！＋ｘ4／４！－ｘ6／６！＋……
ｅx＝１＋ｘ／１！＋ｘ2／２！＋ｘ3／３！＋……
log（１＋ｘ）＝ｘ－ｘ2／２＋ｘ3／３－ｘ4／４＋……ただし、－１＜ｘ≦１
等々である。
いろいろと考えられた関数を一つの形式で表現したかったの
だろうか？または、微積分が考え出されたときなので、使っ
てみたらこうなったのだろうか？動機は分からない。
証明だが、
関数f(x)がべき級数で表現できたとすると、
f(x)＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ2＋ａ3ｘ3＋ａ4ｘ4＋……
微分して、
f'(x)＝ａ1＋２ａ2ｘ＋３ａ3ｘ2＋４ａ4ｘ3＋……
f''(x)＝２ａ2＋３・２ａ3ｘ＋４・３ａ4ｘ2＋……
f'''(x)＝３・２・１ａ3＋４・３・２ａ4ｘ＋……
ここで、ｘ＝０を代入すると、
f(0)＝ａ0
f'(0)＝ａ1
f''(0)＝２ａ2したがって、ａ2＝f''(0)／２！
f'''(0)＝３・２・１ａ3したがって、ａ3＝f'''(0)／３！
べき級数に戻して、
f(x)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋f''(0)／２！・ｘ2＋f'''(0)／３！・ｘ3＋……
となる。出発点はべき級数からであったようだ。
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問２
「∞になるスピード」が分かると、極限が解きやすくなります。
ｌｉｍ ｆ（ｘ）
ｘ→∞
は、関数ｆ（ｘ）の形により、無限になるスピードが違ってきます。
例えば、関数ｆ（ｘ）＝ｘ2 と関数ｆ（ｘ）＝２xで調べてみましょう。
ｘに自然数を順に入れていくと
：１→２→３→……→ １０→……→ １００→……→∞
ｙ＝ｘ2 ：１→４→９→……→ １００→……→１００００→……→∞
ｙ＝２x ：２→４→８→……→１０２４→……→1267650600228229401496703205376→……→∞
このように同じ無限に行くが、そのスピードが関数により違うことがわかる。
グラフを書いてみると、そのスピードがわかりやすい。
さて極限の問題ですが、
ｋ＞０のとき
ｌｉｍ ｘk ・ｌｏｇｘ＝０
x→+0
ですが、
ｌｉｍ ｘk ＝０
ｘ→＋０
また、
ｌｉｍ ｌｏｇｘ＝－∞
ｘ→＋０
この２つのスピードを比較して考えると、
ｌｉｍ ｘk ・ｌｏｇｘ＝０・（－∞）＝０
ｘ→＋０
↑ ↑ ↑
早い 遅い 早い０の勝ち