ｓｉｎとｃｏｓの加法定理の証明を教えてください。
何回やってもわからないです。
三角関数の加法定理は、４つの証明方法があります。
①長方形を回転する方法
②ピタゴラスの定理を使う方法
③余弦定理と正弦定理を使う方法
④複素数を使う方法
どれがいいですか？
ここでは、①を紹介します。
左の長方形ＯＡＢＣの対角線ＯＢの長さを１とする。
∠ＢＯＡ＝αとすると、三角比より、
ＡＢ＝sinα、ＯＡ＝cosαとなる。
この長方形を左にβだけ回転すると、右の図となる。
△ＢＯＳにおいて、∠ＢＯＳ＝α＋βとなる。
ＢＳ＝sin(α＋β)
ＯＳ＝cos(α＋β)
また、△ＡＯＰにおいて、∠ＡＯＰ＝βより、
ＡＰ＝ＯＡsinβ＝cosαsinβ
ＯＰ＝ＯＡcosβ＝cosαcosβ
また、相似より∠ＡＢＲ＝∠ＡＯＰ＝βとなるから、
△ＡＢＲにおいて、
ＢＲ＝ＡＢcosβ＝sinαcosβ
ＡＲ＝ＡＢsinβ＝sinαsinβ
したがって、加法定理は
ＢＳ＝ＢＲ＋ＲＳ＝ＢＲ＋ＡＰより、
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
ＯＳ＝ＯＰ－ＰＳ＝ＯＰ－ＡＲより、
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
以上です。
他にも証明方法がありますが、上の①の方法で分から
ないときは、方法を指定して再度質問してください。