初項から第５項までの等比数列の和は
ａ₁ ＋ａ₂ ＋ａ₃ ＋ａ₄ ＋ａ₅

　ａ（１－ｒ⁵ ）
＝──────＝３より、
　　１－ｒ

ａ（１－ｒ⁵ ）＝３（１－ｒ）……①

初項から１５項までの和が３＋１８＝２１となるから
ａ（１－ｒ¹⁵）＝２１（１－ｒ）……②

３乗の因数分解の公式ａ³ －ｂ³ ＝（ａ－ｂ）（ａ² ＋ａｂ＋ｂ² ）を利用して
①×（１＋ｒ⁵ ＋ｒ¹⁰）－②より
　　ａ（１－ｒ¹⁵）＝３（１－ｒ）（１＋ｒ⁵ ＋ｒ¹⁰）
－）ａ（１－ｒ¹⁵）＝２１（１－ｒ）
　────────────────────────
　　　　　　　　０＝３（１－ｒ）（１＋ｒ⁵ ＋ｒ¹⁰）－２１（１－ｒ）

３（１－ｒ）｛（１＋ｒ⁵ ＋ｒ¹⁰）－７｝＝０より、
ｒ≠１だから、（∵５ａ＝３より、１５ａ＝９≠２１）
ｒ¹⁰＋ｒ⁵ －６＝０
ｒ⁵ ＝ｔとおくと、
ｔ² ＋ｔ－６＝０
（ｔ＋３）（ｔ－２）＝０
ｔをもどして、
（ｒ⁵ ＋３）（ｒ⁵ －２）＝０
したがって、
ｒ⁵ ＝－３または、ｒ⁵ ＝２

ｒは（－３）の５乗根（ｒを５回掛けると、－３となる数）
奇数乗根の時は符号が一致するので、\(\pm\)はいらない。
ｎ乗根は分数乗と表現（ⁿ \(\sqrt{\quad}\)ａ＝ａ^{\(\frac{1}{n}\)}）できるので、

∴ｒ＝（－３）^{\(\frac{1}{5}\)}または、ｒ＝２^{\(\frac{1}{5}\)}

（ｉ）ｒ＝（－３）^{\(\frac{1}{5}\)}の場合

これを①に代入すると、

　　３
ａ＝─（１－（－３）^{\(\frac{1}{5}\)}）
　　４

１６項から３０項までの和をｘとすると、

　　ａ（１－ｒ³⁰）
ｘ＝──────－２１
　　　１－ｒ

　　３／４（１－（－３）^{\(\frac{1}{5}\)}）（１－７２９）
　＝────────────────────－２１
　　　　　　１－（－３）^{\(\frac{1}{5}\)}


　＝－３×１８２－２１＝－５４６－２１＝－５６７……（答）

(ii)ｒ＝２^{\(\frac{1}{5}\)}の場合

これを①に代入すると、

ａ＝－３（１－２^{\(\frac{1}{5}\)}）

　　ａ（１－ｒ³⁰）
ｘ＝──────－２１
　　　１－ｒ

　　－３（１－２^{\(\frac{1}{5}\)}）（１－６４）
　＝───────────────－２１
　　　　　　１－２^{\(\frac{1}{5}\)}


　＝－３×（－６３）－２１＝１８９－２１＝１６８……（答）