4月10日に春休み明けの課題考査があるので、超焦ってますー。
範囲は50ページある問題集１冊全て。ヤバイです。教えて下さい。
問 直線y＝x＋2と放物線y＝x2 －2ax＋5a2 ＋2 とが相異なる
2点Ｐ、Ｑで交わるとする。
(1)定数ａの値の範囲を求めよ。
(2)原点をＯとして、△ＯＰＱの面積をＳとする時、Ｓ
の最大値とその時のａの値を求めよ。
一応、答えを見ながら(1)は理解しました。
でもどうも(2)はムムム…という感じで。お願いします。
問１
｛ｙ＝ｘ＋２
｛ｙ＝ｘ2 －２ａｘ＋５ａ2 ＋２
を連立して
ｘ2 －２ａｘ＋５ａ2 ＋２＝ｘ＋２
ｘ2 －（２ａ＋１）ｘ＋５ａ2 ＝０
相異なる２点Ｐ、Ｑがあるということは、相異なるｘの値をもつことに
なるから、判別式Ｄ＞０の場合より、
Ｄ＝（２ａ＋１）2 －４・１・５ａ2 ＞０
４ａ2 ＋４ａ＋１－２０ａ2 ＞０
－１６ａ2 ＋４ａ＋１＞０
１６ａ2 －４ａ－１＜０
１６ａ2 －４ａ－１＝０より、
２\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（４＋１６） ２\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)５ １\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)５
ａ＝─────────＝─────＝────
１６ １６ ８
したがって、
１－\(\sqrt{\quad}\)５ １＋\(\sqrt{\quad}\)５
────＜ａ＜──── ……（答）
８ ８
問２
△ＯＰＱの面積をＳとすると、
１
Ｓ＝─・ＰＱ・ＯＨより、
２
ＰＱは連立の解だから、
ｘ2 －（２ａ＋１）ｘ＋５ａ2 ＝０
２ａ＋１\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（４ａ2 ＋４ａ＋１－２０ａ2 ）
ｘ＝─────────────────────
２
２ａ＋１\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）
＝──────────────────
２
ｙ＝ｘ＋２
２ａ＋５\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）
＝──────────────────
２
ＰＱ＝\(\sqrt{\quad}\)｛（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）＋（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）｝
＝\(\sqrt{\quad}\)｛２（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）｝
ＯＨは直線ｙ＝ｘ＋２と原点との距離だから、
ｘ－ｙ＋２＝０より、
｜０－０＋２｜
ＯＨ＝──────────＝\(\sqrt{\quad}\)２
\(\sqrt{\quad}\)｛１2 ＋（－１）2 ｝
したがって、
１
Ｓ＝─・\(\sqrt{\quad}\)｛２（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）｝・\(\sqrt{\quad}\)２
２
＝\(\sqrt{\quad}\)（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）
\(\sqrt{\quad}\)の中身をｙとおくと、
ｙ＝－１６ａ2 ＋４ａ＋１
１ １ １
＝－１６（ａ2 －─ａ＋──）＋─＋１
４ ６４ ４
１ ５
＝－１６（ａ－─）2 ＋─
８ ４
したがって、
１ ５ \(\sqrt{\quad}\)５
ａ＝─のとき、最大値Ｓ＝\(\sqrt{\quad}\)（─）＝── ……（答）
８ ４ ２