問１
ｆ（ｘ）を３次式とすると、
ｆ（ｘ）＝ａ₀ ＋ａ₁ ｘ＋ａ₂ ｘ² ＋ａ₃ ｘ³
　　ｆ（ｔ＋１）＝ａ₀ ＋ａ₁ （ｔ＋１）＋ａ₂ （ｔ＋１）² ＋ａ₃ （ｔ＋１）³
－）ｆ（ｔ）＝ａ₀ ＋ａ₁ ｔ＋ａ₂ ｔ² ＋ａ₃ ｔ³
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ｆ（ｔ＋１）－ｆ（ｔ）＝ａ₁ ＋ａ₂ （２ｔ＋１）＋ａ₃ （３ｔ² ＋３ｔ＋１）
　　＝３ａ₃ ｔ² ＋（３ａ₃ ＋２ａ₂ ）ｔ＋（ａ₃ ＋ａ₂ ＋ａ₁ ）

積分して、
［ａ₃ ｔ³ ＋（３ａ₃ ＋２ａ₂ ）ｔ² ／２＋（ａ₃ ＋ａ₂ ＋ａ₁ ）ｔ］

－ｘ～ｘまでより、ｔ³ ─→２ｘ³ 、ｔ² ─→０、ｔ─→２ｘ

左辺＝２ａ₃ ｘ³ ＋２（ａ₃ ＋ａ₂ ＋ａ₁ ）ｘ

これが右辺＝ｃｆ（ｘ）となるのだから、
右辺＝ｃａ₀ ＋ｃａ₁ ｘ＋ｃａ₂ ｘ² ＋ｃａ₃ ｘ³

左辺と右辺を見比べて、
ｃａ₃ ＝２ａ₃ ……①
ｃａ₂ ＝０……②
ｃａ₁ ＝２（ａ₃ ＋ａ₂ ＋ａ₁ ）……③
ｃａ₀ ＝０……④

①より、ｃ＝２……（答）

②④より、ａ₂ ＝０、ａ₀ ＝０

③より、２ａ₁ ＝２（ａ₃ ＋ａ₁ ）
ａ₃ ＝０、ａ₁ ＝ｂ（任意）

したがって、
ｆ（ｘ）＝ｂｘ……（答）

問２
ｆ（ｘ）がｎ次式の時については、二項定理
（ｔ＋１）ⁿ －ｔⁿ ＝_n Ｃ₁ ｔ^n-1＋……＋_n Ｃ_n
を使って解くのだろうか？
これはちょっと大変ですね。どなたかアドバイスを！！

※未解決問題に移したところ、Ｔ．Ｋさんと星野さんからアドバイスを
いただきました。感謝！！

武田先生こんにちは。
aefさんの未解決問題についてですが
↓のような考え方はできないでしょうか?
自分もまだ解いていないので間違っているかもしれませんが・・・

f(x) が奇関数であることはすぐ分かる。

（１）は、f(x)=A\(x^{3}\)+Bx と置いて計算すればよい。

（２）は、次数が３より大きい解があるとして、
f(x)=Ax^(2n+1)+Bx^(2n-1)+.....
と置いて計算してみればよい(A≠0,n≧2)。
x^(2n+1) と x^(2n-1) の係数を考えるだけで、あり得ないと分かる。

T.K. 氏の
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f(x) が奇関数であることはすぐ分かる。

（１）は、f(x)=A\(x^{3}\)+Bx と置いて計算すればよい。

（２）は、次数が３より大きい解があるとして、
f(x)=Ax^(2n+1)+Bx^(2n-1)+.....
と置いて計算してみればよい(A≠0,n≧2)。
x^(2n+1) と x^(2n-1) の係数を考えるだけで、あり得ないと分かる。
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という方針で良いと思われる。
面倒だから省略するが, 上記のように置くと
∫_(-x\()^{x}\) (f(t+1) - f(t))dt
= 2Ax^(2n+1) + (2n(2n+1)A/3 + 2B)x^(2n-1) + …
となるから, 最高次の係数を比較して c = 2 が出る。
2n-1 次の係数を比較すると
2n(2n+1)A/3 + 2B = 2B.
従って A = 0 又は n = 0.
つまり仮定 A ≠ 0 より n = 0 でなければならない。
すなわち次数が最初から 2×0 + 1 = 1 次しかあり得なかったのであった。