この手の問題は、シュワルツの不等式を使うと良い。
詳しくは質問＜４３０＞を参照してください。

Ｘ＋２Ｙ＋３Ｚ＝１を満たすならば、
Ｘ² ＋４Ｙ² ＋９Ｚ² ≧１／３であることを示せ。

→　　　　　　　　　　　　→
ｘ＝（ｘ，２ｙ，３ｚ）　｜ｘ｜² ＝ｘ² ＋４ｙ² ＋９ｚ²

→　　　　　　　　　　→
ｙ＝（１，１，１）　｜ｙ｜² ＝３

内積
→　→
ｘ・ｙ＝ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１……条件より

シュワルツの不等式
　→　→　　　　→　　 →
（ｘ・ｙ）² ≦｜ｘ｜² ｜ｙ｜²
に代入して、
１² ≦（ｘ² ＋４ｙ² ＋９ｚ² ）３
したがって、
Ｘ² ＋４Ｙ² ＋９Ｚ² ≧１／３であることが証明された。