x　
ｌｉｍ∫　|sin t|ｅ^-tｄｔ
ｘ→∞　0
の|sin t|は
2nπから(2n+1)πまでの間で、|sin t|＝sin t
(2n+1)πから(2n+2)πまでの間で、|sin t|＝－sin t
となるから、
　　　 _(2n+1)π
Ｂ_2n＝∫　(sin t)ｅ^-tｄｔ
　　　 ^2nπ
　　＝（０－０）＋（ｅ^-(2n+1)π＋ｅ^-2nπ）－Ｂ_2n
２Ｂ_2n＝ｅ^-2nπ（ｅ^-π＋１）
Ｂ_2n＝\(\frac{1}{2}\)｛ｅ^-2nπ（ｅ^-π＋１）｝

同様に
　　　　 _(2n+2)π
Ｂ_2n+1＝∫　(－sin t)ｅ^-tｄｔ
　　　　 ^(2n+1)π
　　　＝（０－０）＋（ｅ^-(2n+2)π＋ｅ^-(2n+1)π）－Ｂ_2n+1
２Ｂ_2n+1＝ｅ^{-（2n+1）π}（ｅ^-π＋１）
Ｂ_2n+1＝\(\frac{1}{2}\)｛ｅ^{-（2n+1）π}（ｅ^-π＋１）｝

　　　　x　
ｌｉｍ∫　|sin t|ｅ^-tｄｔ
ｘ→∞　0
＝Ｂ₀＋Ｂ₁＋Ｂ₂＋Ｂ₃＋……
＝\(\frac{1}{2}\)（ｅ^-π＋１）（ｅ⁰＋ｅ^-π＋ｅ^-2π＋ｅ^-3π＋……）
＝\(\frac{1}{2}\)（ｅ^-π＋１）×ｅ⁰/（１－ｅ^-π）
　　１＋ｅ^-π
＝────────
　２(１－ｅ^-π)
絶対値がついているときは、場合分けして、無限等比級数の和の
公式を使って答えるようです。