次の数列の初項から第ｎ項までの和を求めよ。
１＋３，１＋３＋９，１＋３＋９＋２７，・・・
という問題なんですが、
解答には
この数列の第ｋ項は
ａｋ＝１＋３＋３の２乗＋・・・＋３のｋ乗＝１／２（３のk+1乗ー１）
となっているんですが、何で３のｋ乗になるのか分かりません。
初項が３の０乗、第２項が３の１乗、第３項が３の２乗となっているの
だから、第ｋ項は３のk-1乗なのではないでしょうか。
項数がｋ＋１個であるから、第ｋ項がａk+1＝・・・
ならわかるのですが・・・。
見にくくてすみませんがよろしくお願いします。
数列が１，３，３2 ，３3 ，……ならば、
第ｋ項が３k-1となりますが、
問題の数列は１＋３，１＋３＋９，１＋３＋９＋２７，……なので、
初項が１＋３＝３0 ＋３1
第２項が１＋３＋９＝３0 ＋３1 ＋３2
第３項が１＋３＋９＋２７＝３0 ＋３1 ＋３2 ＋３3 ということで、
第ｋ項は３0 ＋３1 ＋３2 ＋３3 ＋……＋３k
となります。
したがって、
１（３k+1 －１）
ａk ＝────────
３－１
１
＝─（３k+1 －１）
２
初項から第ｎ項までの和だから
n n １
Σ ａk ＝Σ ─（３k+1 －１）
k=1 k=1 ２
n ９ １
＝Σ （──・３k-1 －──）
k=1 ２ ２
９
─（３n －１）
２ １
＝───────－─・ｎ
３－１ ２
９ ９ ｎ
＝─・３n －─－─ ……（答）
４ ４ ２