開平算といいます。ルート３の例でやってみます。

左側は足し算、右側は引き算です。右側の「下ろす」のは２桁
の「００」を下ろします。
「立てる」のは、左側の足し算した結果の右と下に書き、掛け
算をします。
この計算を繰り返していくと、\(\sqrt{\quad}\)3＝1.7320508……となります。

ルートいくら～の計算は、開平算でもできますが、

(1)　論理的にどうしてその計算で求められるのか？
(2)　ルート3.27などの計算はどうするか？

という点がすぐにはハッキリとしないような気がします。

この場合、多少手間がかかりますが、逐次近似式を使う
ほうが“数学的”ではないでしょうか。

（sqrt()は、ルートいくつの表現、\(2^{3}\)は2の3乗と読むし
ます。）

いま、sqrt(3)を求めたいならば、

sqrt(1) = 1 < sqrt(3) < 2 = sqrt(4)

より、まずだいたい1と2の間にあるという見当がつき
ます。仮に、1.5くらいと見積もります。正確な値との
差分をaとおくと、

sqrt(3) = 1.5 + a .... [1]

となります。両辺２乗し、

3 = 1.\(5^{2}\) + 3a + \(a^{2}\)

で、ここで\(a^{2}\)は差分^2ですから、他の項に比べて十分
に小さいので、

3 = 1.\(5^{2}\) + 3a

と“近似”できます。このとき、

a = (3 - 1.\(5^{2}\)) / 3

となり、第１近似として、

[1] = 1.5 + (3 - 1.\(5^{2}\)) / 3

が得られます。この新しい数1.75を初期値として、再度
[1]の1.5を1.75に変えて代入して計算すれば、

1.5
1.75
1.732142857
1.73205081...

という近似列が得られます。この方法を一般に述べてい
くと

sqrt(a+b) = (a + b\()^{1}\)/2

という展開式に話が結びつけられ、これはパスカルの二項
展開の一般形（ニュートンにより提唱、アーベルが後ほど
厳密に証明した）へと話が膨らみます。

算法はたしかに覚えてしまえば便利なものですが、数学的
なセンスを磨かせるのに少し高度（？）な話も盛り込むと
目の前の問題を解くため数学を越えて、さらに興味をそそ
る話の展開ができるかもしれません。

ちなみに、この方法は私が高校の化学の時間に聞いたもの
です（^^;。近似の捉え方から級数展開につながる話が大変
鮮やかで印象的だったので今でも記憶に残っています。

今後もサイト更新がんばって下さい。