誤りです。

ｎ＝２のときに直ぐに分かります。
ａ₁ ≠ａ₂ とすると、

　　　２　　　　２　１
左辺＝Σ　ａ_j ・Σ　──
　　　j=1　　　k=1　ａ_k

　　　　　　　　　　　　１　　１
　　＝（ａ₁ ＋ａ₂ ）・（──＋──）
　　　　　　　　　　　　ａ₁ 　ａ₂

　　　　　ａ₁ 　ａ₂
　　＝１＋──＋──＋１
　　　　　ａ₂ 　ａ₁

右辺＝２² ＝４

∴左辺≠右辺

※各項が等しいときに限り成り立つが？！