ｎ次代数方程式は、イギリスのホーナーが発明した組立除法で求められ
れば良いですが、なかなかそうはいきません。

例えば、組立除法でやってみると、ｘ⁵ ＋３ｘ² －４＝０のとき、

１　０　０　３　０　－４｜１
　　　　　　　　　　　　──
　　１　１　１　４　　４
──────────────
１　１　１　４　４｜　０

ｘ＝１の解は出せますが、残りの４個の解は難しくて出せません。

一方、ニュートンは近似法を考えました。



図のように考えて、

　　　　　　　　ｆ（ｘ_n ）
ｘ_n+1 ＝ｘ_n －──────
　　　　　　　ｆ′（ｘ_n ）

今、ｆ（ｘ）＝ｘ⁵ －３０として、
ｆ′（ｘ）＝５ｘ⁴

　　　　　　　ｘ_n ⁵ －３０
ｘ_n+1 ＝ｘ_n －───────
　　　　　　　　５ｘ_n ⁴

　　　　４ｘ_n ⁵ ＋３０
　　　＝───────
　　　　　　５ｘ_n ⁴

　　　　４　　　　６
　　　＝─ｘ_n ＋───
　　　　５　　　ｘ_n ⁴

ｘ₀ ＝２とおいて、
　　ｘ₁ ＝１．９７５００
　　ｘ₂ ＝１．９７４３５
　　ｘ₃ ＝１．９７４３５
したがって、
　　ｘ≒１．９７

このように繰り返して（例えばパソコンなどを利用して）、近似値が求
められる。