以下の関係式の証明方法がわかりません。
数学的帰納法で証明できるようなのですが．．．
n
Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)]
k=0
ちなみに、(1-1\()^{n}\) を展開して
0 = Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)] = Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]*k/[k+x]
k k
+ Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]*x/[k+x]
k
としたのですが、ここから先へ進めません。
どなたか、アドバイスのほど、よろしくお願いいたします。
数学的帰納法で証明してみよう。
（１）ｎ＝１のとき
１
左辺＝Σ[１Ｃk][(-1\()^{k}\)]/[k+x]
k=0
１ １ １＋ｘ－ｘ １
＝─－───＝──────＝──────
ｘ １＋ｘ ｘ（１＋ｘ） ｘ（１＋ｘ）
右辺＝１!/[x(x+1)]
１
＝──────
ｘ（ｘ＋１）
したがって、左辺＝右辺
（２）ｎ＝ｐのとき成り立つと仮定して、
ｐ
Σ[ｐＣk][(-1\()^{k}\)]/[k+x] = ｐ!/[x(x+1)…(x+ｐ)]
k=0
ｎ＝ｐ＋１のとき
p+1
左辺＝Σ [p+1Ｃk][(-1\()^{k}\)]/[k+x]
k=0
p+1 （ｐ＋１）！
＝Σ ───────────[(-1\()^{k}\)]/[k+x]
k=0 ｋ！（ｐ＋１－ｋ）！
p （ｐ＋１）・ｐ！
＝Σ ─────────────────[(-1\()^{k}\)]/[k+x]＋（－１）p+1 ／（ｐ＋１＋ｘ）
k=0 （ｐ＋１－ｋ）・ｋ！（ｐ－ｋ）！
p （ｐ＋１）
＝Σ ───────・ｐＣｋ・[(-1\()^{k}\)]/[k+x]＋（－１）p+1 ／（ｐ＋１＋ｘ）
k=0 （ｐ＋１－ｋ）
※こっから先に進まない。誰かアドバイスを！！
ｄ３さんからアドバイスを頂きました。助かりました。感謝！！
まず，n=1 では成り立っています．
次にn≧1 で成り立っているとします．すなわち，
n
Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)] ・・・＃
k=0
が成り立つとします．
ここで，
n+1Ｃk = nＣk + nＣk-1 です． いま，nＣn+1= nＣ-1=0 として，
n+1
Σ[n+1Ｃk][(-1\()^{k}\)]/[k+x]
k=0
n+1
= Σ{[nＣk]+[nＣk-1]}[(-1\()^{k}\)]/[k+x]
k=0
n+1 n+1
= Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]/[k+x] + Σ[nＣk-1][(-1\()^{k}\)]/[k+x]
k=0 k=0
n n
= Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]/[k+x] + Σ[nＣk][(-1)^(m+1)]/[m+1+x]
k=0 m=0
（nＣn+1= nＣ-1=0で，m=k-1 としました）
n n
= Σ[nＣk][(-1\()^{k}\)]/[k+x] －Σ[nＣk][(-1\()^{m}\)]/[m+(1+x)]
k=0 m=0
= n!/[x(x+1)…(x+n)] － n!/[(x+1)…(x+n)(x+n+1)]
（＃から，後ろは，m とx は関係ないので，）
= n!/[(x+1)…(x+n)]｛\(\frac{1}{x}\)－1/(x+n+1)｝
= n!/[(x+1)…(x+n)]｛(n+1)/x(x+n+1)｝
= (n+1)!/[x(x+1)…(x+n)(x+n+1)]
これは，n+1 のときも成り立っているコトを示しています．
コレでよろしいのでは？