∠ＡＯＢ＝θとすると、
　　　　　　　　　１
扇形ＯＡＢの面積＝─ｒ² θ
　　　　　　　　　２

　　　　　　　　１
△ＯＡＢの面積＝─ｒ² sinθ
　　　　　　　　２


重なる面積＝（扇形ＯＡＢの面積－△ＯＡＢの面積）×２
　　　　　　　１　　　　１
　　　　　＝（─ｒ² θ－─ｒ² sinθ）×２
　　　　　　　２　　　　２


　　　　　＝ｒ² （θ－sinθ）

ただし、ＯＯ’＝ｄだから
△ＡＯＯ’における余弦定理より

ｄ² ＝ｒ² ＋ｒ² －２ｒ・ｒcos（π－θ）
ｄ² ＝２ｒ² ＋２ｒ² cosθ

　　　　ｄ² －２ｒ²
cosθ＝───────
　　　　　２ｒ²

したがって、
Ｓ＝ｒ² （θ－sinθ）　……（答）
　　ただし、
　　　　　　　　ｄ² －２ｒ²
　　　　cosθ＝───────
　　　　　　　　　２ｒ²

θ を使わないで面積を出すのは可能でしょうか？

２つの中心間の距離ｄが変化すると、どうしてもθがでてきますので、
使わないで面積を求めることは無理だと思います。

∠ＡＯＢ＝９０°のときだと、
　　　　　　　　　１
扇形ＯＡＢの面積＝─πｒ²
　　　　　　　　　４

　　　　　　　　１
△ＯＡＢの面積＝─ｒ²
　　　　　　　　２


重なる面積＝（扇形ＯＡＢの面積－△ＯＡＢの面積）×２
　　　　　　　１　　　　１
　　　　　＝（─πｒ² －─ｒ² ）×２
　　　　　　　４　　　　２

　　　　　　　　　π
　　　　　＝ｒ² （－－１）
　　　　　　　　　２

となりますけどね。