２つの円、ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２、ｘ＾２＋ｙ＾２－４ｘ－２ｂｙ＋４＝０が外接しているとき、
２円の接点における共有接線のｙ切片が５／３となるような、ａ，ｂの値を
求めよ。ただし、ａ＞０、ｂ＞０とする。
って問題なんですけど…。
それぞれの中心と半径だすとこまではわかったんですけど…。？？？
よろしくお願いします。
ｘ2 ＋ｙ2 ＝ａ2
原点が中心、半径ａの円……①
ｘ2 ＋ｙ2 －４ｘ－２ｂｙ＋４＝０
（ｘ2 －４ｘ＋４）－４＋（ｙ2 －２ｂｙ＋ｂ2 ）－ｂ2 ＋４＝０
（ｘ－２）2 ＋（ｙ－ｂ）2 ＝ｂ2
中心（２，ｂ）半径ｂの円……②
ｂ＞０、直線ＯＯ’は、傾きｂ／２で原点を通から
ｂ
ｙ＝─ｘ……③
２
①と③が交わるから、交点の座標を求めると、
ｂ
ｘ2 ＋（─ｘ）2 ＝ａ2
２
４＋ｂ2
────ｘ2 ＝ａ2
４
交点は第１象限だから、ｘ座標もｙ座標も正だから
２ａ
ｘ＝───────
\(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）
ｂ ２ａ ａｂ
ｙ＝─・───────＝───────
２ \(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ） \(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）
共通接線は、直線ＯＯ’と直交するから、
傾きは、ｍ・ｂ／２＝－１より、
２
∴ｍ＝－─
ｂ
したがって、共通接線の方程式は
ａｂ ２ ２ａ
ｙ－───────＝－─｛ｘ－───────｝
\(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ） ｂ \(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）
ｙ切片は、ｘ＝０だから
ａｂ ２ ２ａ
ｙ－───────＝－─｛０－───────｝
\(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ） ｂ \(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）
４ａ ａｂ
ｙ＝────────＋───────
ｂ\(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ） \(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）
４ａ
──＋ａｂ
ｂ
＝────────
\(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）
５
＝─（問題より）
３
分母と分子を連立して、
｛４ａ
｛──＋ａｂ＝５……④
｛ ｂ
｛
｛\(\sqrt{\quad}\)（４＋ｂ2 ）＝３……⑤
⑤を２乗して、
４＋ｂ2 ＝９
ｂ2 ＝５
ｂ＞０より、
∴ｂ＝\(\sqrt{\quad}\)５ ……（答）
④に代入して、
４ａ
──＋ａ\(\sqrt{\quad}\)５＝５
\(\sqrt{\quad}\)５
両辺に\(\sqrt{\quad}\)５を掛けて、
４ａ＋５ａ＝５\(\sqrt{\quad}\)５
９ａ＝５\(\sqrt{\quad}\)５
５\(\sqrt{\quad}\)５
∴ａ＝─── ……（答）
９