ＢＣ＝２、ＣＡ＝ＡＢ＝\(\sqrt{\quad}\)３である三角形ＡＢＣがある。
辺ＢＣの中点をＰ1、Ｐ1から辺ＣＡに下ろした垂線の足を
Ｑ1、Ｑ1から辺ＡＢに下ろした垂線の足をＲ1、Ｒ1から
辺ＢＣに下ろした垂線の足をＰ2とする。
さらに続けて、Ｐ2から辺ＣＡに下ろした垂線の足をＱ2、
Ｑ2から辺ＡＢに下ろした垂線の足をＲ2、Ｒ2から辺ＢＣ
に下ろした垂線の足をＰ3とする。
この操作を繰り返して、辺ＢＣ上に点Ｐｎ
(ｎ＝1,2,3・・・）をとる。
(1）cosＡの値を求めよ。
(2）ＢＰｎ＝Ｘｎとおくとき、Ｘｎ+1をＸｎで表せ。
(3）極限 ｌｉｍＸｎを求めよ。
ｎ→∞
（１）
△ＡＢＣにおいて余弦定理をつかって、
２2 ＝（\(\sqrt{\quad}\)３）2 ＋（\(\sqrt{\quad}\)３）2 －２（\(\sqrt{\quad}\)３）2 cosＡ
４＝６－６cosＡ
１
∴cosＡ＝── ……（答）
３
（２）
ｘ2 ＝ＢＰ2
＝ＢＰ1 ＋Ｐ1 Ｐ2
Ａ
＝１＋Ｐ1 Ｒ1 cos────
２
Ａ Ａ
＝１＋\(\sqrt{\quad}\)２sin──・cos─
２ ２
ｘ3 ＝ＢＰ3
＝ＢＰ1 ＋Ｐ1 Ｐ2 ＋Ｐ2 Ｐ3
Ａ Ａ Ａ Ａ
＝１＋\(\sqrt{\quad}\)２sin──・cos─＋\(\sqrt{\quad}\)２（sin──）3 ・cos─
２ ２ ２ ２
したがって、
ｘn ＝ＢＰn
＝ＢＰ1 ＋Ｐ1 Ｐ2 ＋Ｐ2 Ｐ3 ＋……＋Ｐn-1 Ｐn
Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ
＝１＋\(\sqrt{\quad}\)２sin──・cos─＋\(\sqrt{\quad}\)２（sin──）3 ・cos─＋……＋\(\sqrt{\quad}\)２（sin─）2n-3 ・cos─
２ ２ ２ ２ ２ ２
Ａ Ａ
＝ｘn-1 ＋\(\sqrt{\quad}\)２（sin──）2n-3 ・cos──
２ ２
Ａ Ａ
∴ｘn+1 ＝ｘn ＋\(\sqrt{\quad}\)２（sin──）2n-1 ・cos──
２ ２
（３）
ｌｉｍ Ｘn
ｎ→∞
Ａ Ａ Ａ Ａ
＝１＋\(\sqrt{\quad}\)２sin──・cos─＋\(\sqrt{\quad}\)２（sin──）3 ・cos─＋……
２ ２ ２ ２
Ａ Ａ
\(\sqrt{\quad}\)２sin──・cos─
２ ２
＝１＋─────────
Ａ
１－（sin──）2
２
\(\sqrt{\quad}\)２
──sinＡ
２ \(\sqrt{\quad}\)２sinＡ
＝１＋───────＝１＋──────
１＋cosＡ １＋cosＡ
─────
２
１ １ ２\(\sqrt{\quad}\)２
cosＡ＝──だから、sinＡ＝\(\sqrt{\quad}\)｛１－（─）2 ｝＝────より、
３ ３ ３
２\(\sqrt{\quad}\)２ ４
\(\sqrt{\quad}\)２・──── ───
３ ３
ｌｉｍ Ｘn ＝１＋────────＝１＋────＝２……（答）
ｎ→∞ １ ４
１＋─ ───
３ ３