インターネットの検索で、佐藤郁郎さんの「Ikuro's Home Page」を発見
しました。そのホームページの「多様体の微分幾何？」に関するところに
あった説明が解答として相応しいので、掲載しました。感謝！！

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【１】クマはなぜ丸くなって冬眠するか（等周不等式）
　
　平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積
が一定で周の最小な図形）は円であるという事実は古代ギリシアの時代
からよく知られています．そのことはＬ² ≧４πＡという不等式で表現
されます．等号は円のときだけ成立します．
　
　同様に，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると
Ｓ³ ≧３６πＶ² が成り立ちます．
等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大
の体積をもっています．
　
　ところで，シャボン玉はなぜ丸くなるのでしょうか？　等周不等式
　　Ｓ³ ≧３６πＶ²
に関係していることは直感的に発想できるでしょうが，後述するように，
等周不等式は平均曲率一定曲面と密接な関わりをもっています．
　
　また，クマやリスなど動物達は（この定理を知っているから）丸くなっ
て冬眠しますが，（この定理を知らない）酔っぱらいのオヤジは往来に
大の字になって寝ていて凍死するはめになるというわけです．
　
　さて，立体図形のＳ³ ／Ｖ² は平面図形のＬ² ／Ａ
の相当していて，「等周比」あるいは「等周定数」と呼ばれます．
そこで，等周不等式
　　Ｌ² ≧４πＡ
　　Ｓ³ ≧３６πＶ²
をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう．
　
　半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒⁿ ，表面積はｎＶnｒ^n-1 となりますから，
等周比を無次元化するために，
　　ｎ次元等周比＝表面積ⁿ ／体積^n-1
と定義すると，
　　ｎ次元等周比≧ｎⁿ Ｖn＝ｎⁿ π^{\(\frac{n}{2}\)} /Γ(\(\frac{n}{2}\)+1)（＝Ｃn）
を得ることができます．等号は超球のときに限ります．
　
　この証明はＶn＝π^{\(\frac{n}{2}\)} /Γ(\(\frac{n}{2}\)+1)であることが理解できれば
簡単ですが，少々長くなるのでコラム「幾何の問題（PartⅡ）」に譲ること
にします．
　
　とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，
　　Ｃ₂ ＝４π
　　Ｃ₃ ＝３６π
になることがわかります．以下，
　　Ｃ₄ ＝2⁷ π²
　　Ｃ₅ ＝\(\frac{8}{3}\)*5⁴ π²
　　Ｃ₆ ＝6⁵ π³
　　・・・・・・・
となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，
２次元・３次元だけのようです．

お役に立てて光栄です.転載は一向に構いません.

「球」であることの証明は,一般的には「シュタイナーの対称化」
でなされるようですが，凸体であって対称性のある図形といえば
「球」なのですから，直感的に正しいことは誰しもわかると思います．

むしろ,シュタイナーの証明を見てしまうと,
狐につままれたような感じになり,これで
本当に証明になっているか疑問が残りました．