関数ｙ=ｆ(x）=ｘ^2－２で示される曲線上の点
(Xｎ、f(Xｎ））における接線とｘ軸との交点の
ｘ座標をXｎ+1とする(ｎ=1,2，・・・）。
このようにして得られる数列{Xｎ}について、
つぎの問いに答えよ。
(1)Xｎ+1をXｎを用いて表せ。
(2）Xｎ＞０で、Xｎ≠\(\sqrt{\quad}\)2ならばXｎ+1＞\(\sqrt{\quad}\)2であることを
しめせ。
(3）X1＞０で、X1≠\(\sqrt{\quad}\)2ならば、ｎ≧２のとき、
Xｎ+１－\(\sqrt{\quad}\)2＜\(\frac{1}{2}\)（Xｎ－\(\sqrt{\quad}\)2）であることをしめせ。
(4）X1＞０で、X1≠\(\sqrt{\quad}\)2ならば、数列{Xｎ｝は、
ｎ≧２のとき単調減少で、\(\sqrt{\quad}\)2に収束することを
しめせ。
問１
ニュートンの近似法より、
ｆ（ｘn ）
ｘn+1 ＝ｘn －──────
ｆ′（ｘn ）
ｘn 2 －２
＝ｘn －─────
２ｘn
ｘn 2 ＋２
＝─────
２ｘn
問２
与式＝左辺－右辺
＝ｘn+1 －\(\sqrt{\quad}\)２
ｘn 2 ＋２
＝─────－\(\sqrt{\quad}\)２
２ｘn
ｘn 2 ＋２－２\(\sqrt{\quad}\)２ｘn
＝───────────
２ｘn
（ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２）2
＝────────
２ｘn
条件より
ｘn ＞０、ｘn ≠\(\sqrt{\quad}\)２より、
与式＞０
∴ｘn+1 ＞\(\sqrt{\quad}\)２
問３
（ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２）2
────────
ｘn+1 －\(\sqrt{\quad}\)２ ２ｘn
与式＝──────＝──────────
ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２ ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２
ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２ １ \(\sqrt{\quad}\)２
＝─────＝─（１－──）
２ｘn ２ ｘn
条件より、
ｘ1 ≠\(\sqrt{\quad}\)２、ｘn ＞\(\sqrt{\quad}\)２（ｎ≧２）より、
\(\sqrt{\quad}\)２
０＜──＜１
ｘn
１ \(\sqrt{\quad}\)２ １
与式＝─（１－──）＜─
２ ｘ ２
したがって、
ｘn+1 －\(\sqrt{\quad}\)２ １
与式＝──────＜──
ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２ ２
１
∴ｘn+1 －\(\sqrt{\quad}\)２＜─（ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２）
２
問４
１
０＜ｘn+1 －\(\sqrt{\quad}\)２＜─（ｘn －\(\sqrt{\quad}\)２）
２
１
＜……＜（─）n （ｘ1 －\(\sqrt{\quad}\)２）
２
１
０＜─＜１より、
２
１
ｌｉｍ（─）n ＝０だから、
ｎ→∞ ２
ｌｉｍ （ｘn+1 －\(\sqrt{\quad}\)２）＝０
ｎ→∞
∴ｌｉｍ ｘn ＝\(\sqrt{\quad}\)２
ｎ→∞