毎回二重積分なんですが・・・よろしくお願いします。
問１
∫∫D {y/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))} dx dy D:0≦x≦y≦4
Dは積分範囲
問２
∫∫D \(\sqrt{\quad}\)（\(x^{2}\)-\(y^{2}\)) dx dy D:0≦y≦x≦1
D:積分範囲
２回計算したんですが、答えは π/１２ となってるのに
どうしても （π-1)/12 になってしまいます・・・
正しい解答の仕方をお願いします。
毎回二重積分なんですが・・・よろしくお願いします。
問１
∫∫D {y/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))} dx dy D:0≦x≦y≦4
Dは積分範囲
問２
∫∫D \(\sqrt{\quad}\)（\(x^{2}\)-\(y^{2}\)) dx dy D:0≦y≦x≦1
D:積分範囲
２回計算したんですが、答えは π/１２ となってるのに
どうしても （π-1)/12 になってしまいます・・・
正しい解答の仕方をお願いします。
問１
ｙ
∫∫D（──────）ｄｘｄｙ
ｘ2 ＋ｙ2
D:0≦x≦y≦4
を表現し直すと、
４ ４ ２ｙ
∫ ∫ ────────ｄｘｄｙ
０ ｘ ２（ｘ2 ＋ｙ2 ）
１ ４ ４
＝─∫ ［ｌｏｇ｜ｘ2 ＋ｙ2 ｜］ ｄｘ
２ ０ ｘ
１ ４
＝─∫ （ｌｏｇ｜ｘ2 ＋１６｜－ｌｏｇ｜２ｘ2 ｜）ｄｘ
２ ０
１ ４ ４ ２ｘ2
＝─｛［ｘ・ｌｏｇ｜ｘ2 ＋１６｜］ －∫ ─────ｄｘ
２ ０ ０ ｘ2 ＋１６
４ ４ ４ｘ2
－［ｘ・ｌｏｇ｜２ｘ2 ｜］ ＋∫ ─────ｄｘ｝
０ ０ ２ｘ2
１ ４ ２（ｘ2 ＋１６）－３２
＝─｛４ｌｏｇ３２－∫ ─────────── ｄｘ
２ ０ ｘ2 ＋１６
４
－４ｌｏｇ３２＋∫ ２ｄｘ｝
０
１ ４ ３２
＝─｛∫ ─────ｄｘ｝
２ ０ ｘ2 ＋１６
４ ｄｘ
＝１６・∫ ─────
０ ｘ2 ＋１６
１ ｘ ４
＝１６・［─ｔａｎ-1─ ］
４ ４ ０
１ π
＝１６・─・─＝π ……（答）
４ ４
問２
∫∫D \(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 －ｙ2 ) dx dy
D:0≦y≦x≦1
を表現し直すと、
１ ｘ
∫ ∫ \(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 －ｙ2 ）ｄｘｄｙ
０ ０
１ １ ｙ ｘ
＝∫ ［─｛ｙ\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 －ｙ2 ）＋ｘ2 ｓｉｎ-1 ─ ｝］ ｄｘ
０ ２ ｘ ０
１ １
＝∫ ───（ｘ2 ｓｉｎ-1 １ ）ｄｘ
０ ２
１ １ π
＝─ ∫ （─・ｘ2 ）ｄｘ
２ ０ ２
π ｘ3 １ π
＝─［──］ ＝── ……（答）
４ ３ ０ １２