問１
与式＝左辺－右辺

　１　　　　１　　　　　　１
＝──－──────－──────
　ｎ² 　（ｎ＋１）² 　（ｎ＋１）³

　（ｎ＋１）³ －ｎ² （ｎ＋１）－ｎ²
＝─────────────────
　　　　　ｎ² （ｎ＋１）³

　ｎ³ ＋３ｎ² ＋３ｎ＋１－ｎ³ －ｎ² －ｎ²
＝────────────────────
　　　　　　ｎ² （ｎ＋１）³

　ｎ² ＋３ｎ＋１
＝────────
　ｎ² （ｎ＋１）³

ｎは自然数より、
与式＝左辺－右辺＞０
∴左辺＞右辺

問２
ｎ　　１　　　　　　　１
Σ　───　≦　２－───
r=1　ｒ³ 　　　　　　ｎ³
　　　　　　１
右辺は２－──　の間違えではありませんか？
　　　　　ｎ²

問１の
１　　　　１　　　　　　１
──－──────＞──────
ｎ² 　（ｎ＋１）² 　（ｎ＋１）³
に、ｎ＝１からｎ－１まで代入したのを縦に書いて、すべて加えると、

１　　１　　　１
──－──＞──
１² 　２² 　　２³

１　　１　　　１
──－──＞──
２² 　３² 　　３³

………………

　１　　１　　　１
───－──＞──
(n-1)² 　ｎ² 　　ｎ³

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（＋

１　　１　　　１　　１　　　　　１
──－──＞──＋──＋……＋──
１² 　ｎ² 　　２³ 　　３³ 　　　　ｎ³

両辺に１を加えて、
　　　１　ｎ　　１
２－──＞Σ　───
　　ｎ² 　r=1　ｒ³

ｎ＝１のとき、左辺＝２－１＝１
　　　　　　　右辺＝１
より、
　　　１　ｎ　　１
２－──≧Σ　───
　　ｎ² 　r=1　ｒ³