未解決コーナーに移し、アドバイスを求めたところ、
Ｔ．Ｋさんから次のようなアドバイスを頂きました。
感謝！！

こんにちは。武田先生。
先日、まったく知らないmarthさんという方から数学の問題が送られて
きまして、問い合わせしてみたのですが返事がまったく返ってきません
でした。

今日、高校数学の窓さんの未解決問題を拝見したところ
ももっちさんたる人の問題とmarthさんという方から送られてきたそれが
酷似していました。
そこで、武田先生に私が考えた指針を吟味していただきたくメールさせて
いただきました。
よろしくお願い致します。

【指針】
２項定理より、
(1+\(\frac{1}{x}\)\()^{n}\)=C[n,0]+C[n,1](\(\frac{1}{x}\))+C[n,2](\(\frac{1}{x}\)\()^{2}\)+… ・・・(1)

1/(1-x)=1+x+\(x^{2}\)+… を k 回微分して、
1/(1-x)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x+C[k+2,k]\(x^{2}\)+…
x を \(x^{2}\) で置き換えると、
1/(1-\(x^{2}\))^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]\(x^{2}\)+C[k+2,k]\(x^{4}\)+…・・・(2)

(1) と (2) を掛け合わせたとき、右辺の (\(\frac{1}{x}\))^(2k) の係数が、求める和。
それを S とおく。留数定理より、
S={1/(2πi)}∮(1+\(\frac{1}{x}\)\()^{n}\)/(1-\(x^{2}\))^(k+1)*x^(2k-1)dx
である（積分の経路は、複素平面上、反時計回りに原点をまわる小さな円）。

\(\frac{1}{x}\)=z と置換積分。
S={1/(2πi)}∮(z+1\()^{n}\)/(\(z^{2}\)-1)^(k+1)*zdz
積分の経路は、反時計回りにまわる大きな円。

(z+1\()^{n}\)/(\(z^{2}\)-1)^(k+1)*z=(z+1)^(n-k-1)/(z-1)^(k+1)*z
なので、極は z=1 のみ。見やすいように z-1=u と置き換えると、
(u+2)^(n-k-1)*{(u+2)-1}/u^(k+1)={(u+2)^(n-k)-(u+2)^(n-k-1)}/u^(k+1)
であり、分子を展開して、\(\frac{1}{u}\) の係数を調べることから、留数は、
C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1)
とわかる。

∴ S=C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1)