底面ＯＡＢへ点Ｃから下ろした足をＨとすると、
─→　─→　─→
ＣＨ＝ＯＨ－ＯＣ

─→　　─→　　─→
ＯＨ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ
　　＝ｓ（０　１　１）＋ｔ（１　－１　－１）
　　＝（ｔ　ｓ－ｔ　ｓ－ｔ）

─→
ＣＨ＝（ｔ　ｓ－ｔ　ｓ－ｔ）－（５　４　３）
　　＝（ｔ－５　ｓ－ｔ－４　ｓ－ｔ－３）

─→　─→　─→　─→
ＣＨ⊥ＯＡ、ＣＨ⊥ＯＢより、内積を計算すると、

０・（ｔ－５）＋１・（ｓ－ｔ－４）＋１・（ｓ－ｔ－３）＝０
∴２ｓ－２ｔ－７＝０……①

１・（ｔ－５）－１・（ｓ－ｔ－４）－１・（ｓ－ｔ－３）＝０
∴－２ｓ＋３ｔ＋２＝０……②

①＋②より、
ｔ－５＝０
∴ｔ＝５
したがって、
２ｓ－１０－７＝０
２ｓ＝１７

　　　１７
∴ｓ＝──
　　　　２

─→　　　　　　１７　　　　　１７
ＣＨ＝（５－５　──－５－４　──－５－３）
　　　　　　　　　２　　　　　　２

　　　　　　　１　１
　　＝（０　－─　─　）
　　　　　　　２　２

したがって、高さ
　─→　　　　　　　　　１　　　　１
｜ＣＨ｜＝\(\sqrt{\quad}\)｛０² ＋（－─）² ＋（─）² ｝
　　　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　　　　　２　　\(\sqrt{\quad}\)２
　　　　＝\(\sqrt{\quad}\)（─）＝──
　　　　　　　４　　　２

　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)２
底面積△ＯＡＢ＝──（この前に解いていると思うが……？）
　　　　　　　　　２

したがって、
四面体の体積は、三角錐より、
　　１　\(\sqrt{\quad}\)２　\(\sqrt{\quad}\)２　　２　１
Ｖ＝─・──・──＝──＝─　……（答）
　　３　　２　　２　１２　６

Regarding to Problem No. 515, I found another solution. I have problems of
writing mathematical expression with symbols; therefore, I substitute with
my own symbols as shown below:
OA a vector of O-to-A
OB a vector of O-to-B
OC a vector of O-to-C
ABS(OA) absolute value or magnitude of a vector 'OA'
I, J, and K unit vectors in x-, y-, and z-axis directions,
respectively
N a unit vector perpendicular to a plane including O,
A, and B
X a cross product of two vectors (Gaiseki in Japanese?)
* a dot product of two vectors (Naiseki in Japanese?)
Consider vector multiplication of (OA X OB) * OC.
where OA = J + K, OB = I - J - K, and OC = 5I + 4J + 3K
Since OA X OB = N (2 times area of triangle OAB)
and N * OC = height of C to the base triangle OAB
The volume of a cone is given by
Vol = (base area) times (height) divided by 3
= ABS(((OA X OB) / 2) * OC) / 3

| I J K |
= ABS (| 0 1 1 | * (5I + 4J + 3K)) / 6
| 1 -1 -1 |

= ABS((J - K) * (5I + 4J + 3K)) / 6

= 1/ 6 ..........Answer