検討しましたが、解決しません。
未解決コーナーに移しますので、
誰かアドバイスを下さい。
※ｄ３さんから下記のアドバイスを頂きました！！
感謝！！

ｋを実数とする．
方程式\(x^{3}\)－(2k+1)\(x^{2}\)+(4\(k^{2}\)+2k)x－4\(k^{2}\)＝0
これは，x=1を解にもつ！因数分解して，
(x－1)(\(x^{2}\)－2kx＋4\(k^{2}\))＝0
から，x=1，(1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)3i)k．
(1)z1、z2、z3が一直線上にあるのは，k＝0,1．
(2)z1、z2、z3が直角三角形をなすのは，k＝0 ではダメで，
1の頂角が直角なので，
｜\(\sqrt{\quad}\)3k｜＝｜k－１｜．
\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)3k＝k－１．
k＝(－1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)3)/2．
(3)原点中心の正六角形の頂点となるとき、
　(w1+w2+w3)+(w1+w2+w3)のバー＝0
なので，
w1+w2+w3＝0．
ということは回転する前から，
z1+z2+z3＝0．
この三点が作る三角形は，重心が原点であり，
原点中心の正六角形の三頂点であるので，
正三角形となる．したがって，
z1、z2、z3=1，(－1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)3i)/2．
k＝－\(\frac{1}{2}\)．
コレに回転を施して，w1、w2、w3および、
w1のバー、w2のバー、w3のバーが
原点中心の正六角形の六頂点となるので，
実軸を垂直に切る辺を二つもつ正六角形である．
このとき，点(1)が回転して移る先から，
θ＝π/6，π/2，5π/6
である．

訂正です．飛躍がありました．すみません．

　　(3)原点中心の正六角形の頂点となるとき、
　　　(w1+w2+w3)+(w1+w2+w3)のバー＝0
　　なので，
　　w1+w2+w3＝0．
↑ここです！（w1+w2+w3）の実数部分＝0しかいえません．

　　以下修正です．
(2)では
二等辺三角形になってることに注意してください！
（それでもってこの二等辺三角形は実軸に２等分される！）
(3)まずここで，
w1，w2，w3，w1のバー，w2のバー，w3のバーは，
原点中心の正六角形の頂点です．
複素共役な２点は実軸対称にあるので，
実軸を垂直に切る辺を二つもつ正六角形である．
うち一つは1に回転を加えたものなので，
六つの点の原点からの距離は1で，偏角は，
π/6，3π/6，5π/6，7π/6，9π/6，11π/6．
θの範囲から，1が動いたことを考えると，
θ＝π/6，π/2，5π/6．
　(w1+w2+w3)+(w1+w2+w3)のバー＝0
　なので，
　（w1+w2+w3）の実数部分＝0．
これとあわせて，
θ＝π/2のときは，偏角は，
π/6，3π/6，5π/6の組か，3π/6，7π/6，11π/6の組．
θ＝π/6，5π/6のときは，
π/6，5π/6，9π/6の組．
したがって，次の２つの場合で，
（z1、z2、z3がつくる三角形は1を頂点とする二等辺三角形で，実軸に２等分されるので，）
z1、z2、z3=1，(1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)3i)/2．
z1、z2、z3=1，(－1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)3i)/2．
k＝\(\pm\)\(\frac{1}{2}\)．
このとき，点(1)が回転して移る先から，
θ＝π/6，π/2，5π/6．
　　　コレでたぶん？いいのでは？