問１
URBANの5文字を並べる時、AがBより左にあり、かつBがUより左にある
ような並べ方は何通りあるか？
問２
2つの関数ｆ（ｘ）=2ｘ＾2-3ｘ-5、ｇ（ｘ）=｜ｘ＾2-ｘ-2｜がある。
（1）2つの曲線ｙ=ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の交点の座標を求めよ。
（2）2つの曲線ｙ=ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）で囲まれた部分の面積を求めよ。
問３
放物線ｙ=ｘ＾2+2ｘ+2と放物線ｙ=ｘ＾2-4ｘ+17の共通接線をＬとする。
（1）Ｌの方程式を求めよ。
（2）Ｌと2つの放物線との接点の座標を求めよ。
（3）Ｌと2つの放物線とで囲まれる部分の面積を求めよ。
問４
ＡＢ=4 ＢＣ=3 ＡＣ=2の三角形ＡＢＣについて、∠Ａの2等分線が
辺ＢＣと交わる点をＤ、∠Ｂの2等分線が線分ＡＤと
交わる点をＩとする。
（1）ベクトルＡＤをＡＢ、ＡＣで表せ。
（2）ベクトルＡＩをＡＢ、ＡＣで表せ。
問１
ＡＢＵの間のどこかに２つ（ＲとＮ）が入る場合
４通り×前後２通り＝８通り
ＡＢＵの間に１つずつＲとＮが入る場合
4 Ｐ2 ＝４×３＝１２通り
したがって、
８＋１２＝２０通り……（答）
問２
２ｘ2 －３ｘ－５＝ｘ2 －ｘ－２
ｘ2 －２ｘ－３＝０
（ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
∴ｘ＝３，－１
ｆ（３）＝２・９－３・３－５＝４
したがって、
交点は（－１，０）と（３，４）……（答）
黄色の面積は定積分より、
２
Ｓ1 ＝∫ ｛（－ｘ2 ＋ｘ＋２）－（２ｘ2 －３ｘ－５）｝ｄｘ
－１ ＝１８
３
Ｓ2 ＝∫ ｛（ｘ2 －ｘ－２）－（２ｘ2 －３ｘ－５）｝ｄｘ
２
５
＝─
３
したがって、
５ ５９
Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2 ＝１８＋─＝──……（答）
３ ３
問３
ｙ＝ｘ2 ＋２ｘ＋２＝（ｘ＋１）2 ＋１
ｙ＝ｘ2 －４ｘ＋１７＝（ｘ－２）2 ＋１３
共通接線の直線Ｌを、ｙ＝ａｘ＋ｂとすると、
ｘ2 ＋２ｘ＋２＝ａｘ＋ｂより、
ｘ2 ＋（２－ａ）ｘ＋（２－ｂ）＝０
接するから判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝（２－ａ）2 －４（２－ｂ）＝０……①
ｘ2 －４ｘ＋１７＝ａｘ＋ｂより、
ｘ2 －（４＋ａ）ｘ＋（１７－ｂ）＝０
接するから判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝（４＋ａ）2 －４（１７－ｂ）＝０……②
①－②より、
（２－ａ）2 －（４＋ａ）2 －８＋６８＝０
∴ａ＝４
４－４（２－ｂ）＝０
∴ｂ＝１
直線Ｌの方程式は、ｙ＝４ｘ＋１……（答）
接点Ａは
ｘ2 ＋２ｘ＋２＝４ｘ＋１より、
ｘ2 －２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）2 ＝０
∴ｘ＝１
ｙ＝４・１＋１＝５
Ａ（１，５）……（答）
接点Ｂは
ｘ2 －４ｘ＋１７＝４ｘ＋１より、
ｘ2 －８ｘ＋１６＝０
（ｘ－４）2 ＝０
∴ｘ＝４
ｙ＝４・４＋１＝１７
Ｂ（４，１７）……（答）
２つの放物線の交点は
ｘ2 ＋２ｘ＋２＝ｘ2 －４ｘ＋１７
６ｘ＝１５
５
∴ｘ＝─
２
\(\frac{5}{2}\)
Ｓ1 ＝∫ ｛（ｘ2 ＋２ｘ＋２）－（４ｘ＋１）｝ｄｘ
１
１２５ ２５ ５ １ １２５－１５０＋６０－８
＝───－──＋─－─＋１－１＝────────────
２４ ４ ２ ３ ２４
２７ ９
＝────＝───
２４ ８
４
Ｓ2 ＝∫ ｛（ｘ2 －４ｘ＋１７）－（４ｘ＋１）｝ｄｘ
\(\frac{5}{2}\)
６４ １２５ ３８７
＝──－６４＋６４－───＋２５－４０＝───－１５
３ ２４ ２４
２７ ９ ＝────＝───
２４ ８
したがって、
９ ９ ９
Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2 ＝─＋─＝─……（答）
８ ８ ４
問４
三角形の∠Ａの二等分線と対辺ＢＣが交わる点Ｄは
辺ＢＣをＡＢ：ＡＣに内分するから、
ＢＤ：ＤＣ＝４：２より、
─→ ─→
─→ ２・ＡＢ＋４・ＡＣ １ ─→ ２ ─→
ＡＤ＝─────────＝─・ＡＢ＋─・ＡＣ……（答）
４＋２ ３ ３
４
ＢＤ＝３×─＝２
６
ＡＩ：ＩＤ＝４：２より、
─→ ４ ─→ ２ １ ─→ ２ ─→
ＡＩ＝─・ＡＤ＝─・（─・ＡＢ＋─・ＡＣ）
６ ３ ３ ３
２ ─→ ４ ─→
＝─・ＡＢ＋─・ＡＣ……（答）
９ ９