複素数平面上の原点０を中心とする同一円周上に、
4点z1＝－1＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ、z2、z3、z4がある。
z1、z2、z3、z4の偏角を順に、θ1、θ2、θ3、θ4
(ただし、－180°≦θi＜180°(i＝1,2,3,4））
とする。このとき、θn+1＝kθn(ｎ＝1,2,3）が
成り立つ。ただし、kは有理数である。
(1）|z1|、θ1を求めよ。
(2)3つの複素数の積z1z2z3をkを含む極形式で表せ。
(3）3つの複素数の積z1z2z3が純虚数となるとき、
kの値を求めよ。また、z4をｐ+ｑi(ｐ、ｑは実数）
の形で表せ。
ｚ１＝－１＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ＝２（cos１２０°＋ｉsin１２０°）
問１
｜ｚ１｜＝２、θ１＝１２０°
問２
ｚ２＝２（cos１２０°ｋ＋ｉsin１２０°ｋ）
ｚ３＝２（cos１２０°ｋ2 ＋ｉsin１２０°ｋ2 ）
ｚ１ｚ２ｚ３＝２3 ｛cos１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）＋ｉsin１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）｝
問３
純虚数より、cos１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）＝０
－１８０°≦θ＜１８０°
１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）＝\(\pm\)９０°
４（１＋ｋ＋ｋ2 ）＝\(\pm\)３
４ｋ2 ＋４ｋ＋１＝０または４ｋ2 ＋４ｋ＋７＝０
ｋは有理数より、
１
∴ｋ＝－─
２
したがって、
ｚ１＝２（cos１２０°＋ｉsin１２０°）＝－１＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ
ｚ２＝２｛cos（－６０°）＋ｉsin（－６０°）｝＝１－\(\sqrt{\quad}\)３ｉ
ｚ３＝２（cos３０°＋ｉsin３０°）＝\(\sqrt{\quad}\)３＋ｉ
したがって、
ｚ４＝２｛cos（－１５°）＋ｉsin（－１５°）｝
＝２（cos１５°－ｉsin１５°）
\(\sqrt{\quad}\)６＋\(\sqrt{\quad}\)２ \(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２
＝２（─────－ｉ─────）
４ ４
\(\sqrt{\quad}\)６＋\(\sqrt{\quad}\)２ \(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２
＝─────－ｉ───── ……（答）
２ ２
