（1）放物線ｙ＝\(\frac{1}{4}\)ｘ＾2＋1に点（1，－1）から2つの接線を引く。
この放物線と2つの接線に囲まれる部分の面積を求めよ
x
（2）f（X）＝∫（ｘ－ｔ）（ｔ－2）ｄｔを満たす関数
0
ｆ（ｘ）をｘの整式で表すと、f（x）＝□であり、
ｆ’（x）＝□である。
問１
２本の接線を求めると、
１
ｙ＝─ｘ2 ＋１を微分して、
４
１
ｙ′＝─ｘ
２
Ａ（ａ，ｂ）とすると、
１
ｙ－ｂ＝─ａ（ｘ－ａ）
２
１
ｂ＝─ａ2 ＋１、点（１，－１）を通るから、
４
１ １
－１－─ａ2 －１＝─ａ（１－ａ）
４ ２
両辺に４を掛けて、
－４－ａ2 －４＝２ａ（１－ａ）
ａ2 －２ａ2 ＋２ａ＋８＝０
－ａ2 ＋２ａ＋８＝０
ａ2 －２ａ－８＝０
（ａ－４）（ａ＋２）＝０
∴ａ＝４，－２
Ａ（－２，２），Ｂ（４，５）
点Ａを通る接線の方程式は
ｙ－２＝－（ｘ＋２）∴ｙ＝－ｘ
点Ｂを通る接線の方程式は
ｙ－５＝２（ｘ－４）∴ｙ＝２ｘ－３
したがって面積は、
Ｓ＝Ｓ1 ＋Ｓ2
１ １
Ｓ1 ＝∫｛（─ｘ2 ＋１）－（－ｘ）｝ｄｘ
－２ ４
１ １
＝∫ （─ｘ2 ＋ｘ＋１）ｄｘ
－２ ４
１ １ １
＝［──ｘ3 ＋─ｘ2 ＋ｘ］
１２ ２ －２
１ １ －８ ＝──＋─＋１－──＋２－２
１２ ２ １２
９ ６ １２
＝──＋──＋──
１２ １２ １２
２７
＝──
１２
４ １
Ｓ2 ＝∫｛（─ｘ2 ＋１）－（２ｘ－３）｝ｄｘ
１ ４
４ １
＝∫ （─ｘ2 －２ｘ＋４）ｄｘ
１ ４
１ ４
＝［──ｘ3 －ｘ2 ＋４ｘ］
１２ １
６４ １
＝──－１６＋１６－──＋１－４
１２ １２
６４ １ ３６
＝──－──－──
１２ １２ １２
２７
＝──
１２
したがって、
２７ ２７ ２７ ９
Ｓ＝──＋──＝──＝─ ……（答）
１２ １２ ６ ２
問２
ｘ
ｆ（ｘ）＝∫（ｘ－ｔ）（ｔ－２）ｄｔ
０
ｘ
＝∫（ｘｔ－２ｘ－ｔ2 ＋２ｔ）ｄｔ
０
ｘｔ2 １ ｘ
＝［───－２ｘｔ－─ｔ3 ＋ｔ2 ］
２ ３ ０
ｘ3 ｘ3
＝──－２ｘ2 －──＋ｘ2
２ ３
１
＝─ｘ3 －ｘ2 ……（答）
６
１
ｆ′（ｘ）＝─ｘ2 －２ｘ……（答）
２