関数f(x)と定数aについて、等式
a 1
∫f(t)dt+∫f(t)dt＝-x2-3x+7a+\(\frac{1}{4}\)
x 0
が成り立つとき。f(x)とaの値を求めよ。
という問題なんですが、両辺を微分したら左辺が
-f(x)になるというのがわからないのですが…
よろしくお願いします。
関数f(x)と定数aについて、等式
a 1
∫f(t)dt+∫f(t)dt＝-x2-3x+7a+\(\frac{1}{4}\)
x 0
が成り立つとき。f(x)とaの値を求めよ。
という問題なんですが、両辺を微分したら左辺が
-f(x)になるというのがわからないのですが…
よろしくお願いします。
ａ １ １
∫ｆ（ｔ）ｄｔ＋∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｘ2 －３ｘ＋７ａ＋─
ｘ ０ ４
両辺を微分して、
ｄ ａ
── ∫ ｆ（ｔ）ｄｔ＝－２ｘ－３
ｄｘ ｘ
上限と下限を反対にして、
ｄ ｘ
－── ∫ ｆ（ｔ）ｄｔ＝－２ｘ－３
ｄｘ ａ
微積分の基本定理
ｄ ｘ
── ∫ ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）
ｄｘ ａ
より、
－ｆ（ｘ）＝－２ｘ－３
∴ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３ ……（答）
ａ １ １
∫（２ｔ＋３）ｄｔ＋∫（２ｔ＋３）ｄｔ＝－ｘ2 －３ｘ＋７ａ＋─
ｘ ０ ４
ａ １ １
［ｔ2 ＋３ｔ］＋［ｔ2 ＋３ｔ］＝－ｘ2 －３ｘ＋７ａ＋─
ｘ ０ ４
１
ａ2 ＋３ａ－ｘ2 －３ｘ＋１＋３＝－ｘ2 －３ｘ＋７ａ＋─
４
１５
ａ2 －４ａ＋──＝０
４
４ａ2 －１６ａ＋１５＝０
（２ａ－５）（２ａ－３）＝０
５ ３
∴ａ＝─ ， ─ ……（答）
２ ２