４ｘ
ｙ＝────　のグラフは、微分の増減表より、
　　ｘ² ＋１

　　　４（ｘ² ＋１）－４ｘ・２ｘ　－４ｘ² ＋４
ｙ′＝─────────────＝───────
　　　　　（ｘ² ＋１）² 　　　　　（ｘ² ＋１）²

　　　－４（ｘ² －１）
　　＝────────
　　　（ｘ² ＋１）²

ｙ′＝０より、ｘ＝\(\pm\)１
増減表は、
ｘ　｜…………｜－１｜…………｜１｜…………
──────────────────────
ｙ′｜　－　　｜　０｜　＋　　｜０｜　－　　
──────────────────────
ｙ　｜　減少　｜－２｜　増加　｜２｜　減少　

　　　　　　　　　　　　　　　　　４
　　　　　　　　　　　　　　　　───
　　　　　　４ｘ　　　　　　　　　ｘ
ｌｉｍ　─────＝ｌｉｍ　───────
ｘ→\(\pm\)∞　ｘ² ＋１　ｘ→\(\pm\)∞　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　１＋────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ²

　　　　　　０
　　　＝─────＝０（ｘ軸に限りなく近づく）
　　　　　１＋０



このグラフ上の任意の点（ｂ，ｆ（ｂ））をとると、
　　　　　　　４ｂ
ｆ（ｂ）＝──────
　　　　　　ｂ² ＋１

この点における接線の方程式は

ｙ－ｆ（ｂ）＝ｆ′（ｂ）（ｘ－ｂ）より、

この接線が点（０，ａ）を通るから、

ａ－ｆ（ｂ）＝ｆ′（ｂ）（０－ｂ）

ａ＝ｆ（ｂ）－ｂ・ｆ′（ｂ）

　　　４ｂ　　　　－４（ｂ² －１）
　＝────－ｂ・───────
　　ｂ² ＋１　　　（ｂ² ＋１）²

　　４ｂ³ ＋４ｂ＋４ｂ³ －４ｂ
　＝─────────────
　　　　（ｂ² ＋１）²

　　　　８ｂ³
　＝──────
　　（ｂ² ＋１）²

これを２つの関数に分けてグラフを書き、交点の数を調べると、
｛ｙ＝ａ
｛
｛　　　　８ｂ³
｛ｙ＝────────
｛　　（ｂ² ＋１）²

　　　－８ｂ² （４ｂ² －３）
ｙ′＝───────────
　　　　（ｂ² ＋１）³

　　　　　　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３
ｙ′＝０より、ｂ＝０（重解），\(\pm\)──　
　　　　　　　　　　　　　　　　　２

ｂ　｜……｜－\(\sqrt{\quad}\)３／２｜……｜０｜……｜\(\sqrt{\quad}\)３／２｜……
───────────────────────────
ｙ′｜　－｜　０　　　｜　＋｜０｜　＋｜　０　　｜　－
───────────────────────────
ｙ　｜減少｜－48\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{49}\)｜増加｜０｜増加｜48\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{49}\)｜減少

この増減表に基づきグラフを書き、ｙ＝ａ（水平線）との交点を
数えて分類すると、



　　４８\(\sqrt{\quad}\)３
ａ＞────のとき、接線は０本
　　　４９

　　４８\(\sqrt{\quad}\)３
ａ＝────のとき、接線は１本
　　　４９

４８\(\sqrt{\quad}\)３
────＞ａ＞０のとき、接線は２本
　４９

ａ＝０のとき、接線は１本

　　　　　４８\(\sqrt{\quad}\)３
０＞ａ＞－────のとき、接線は２本
　　　　　　４９

　　　４８\(\sqrt{\quad}\)３
ａ＝－────のとき、接線は１本
　　　　４９

　　　４８\(\sqrt{\quad}\)３
ａ＜－────のとき、接線は０本
　　　　４９