ｘ軸上の動点P,Qは同時に原点Oから出発する。それからｔ秒後のP,Qの
速度をそれぞれu(m/秒),v(m/秒)とするとu=t2－3ｔ+2,ｖ=2at(aは定数)
であるという。
(1)a=\(\frac{1}{6}\)のとき, P,Qが出発後初めて出会うのは何秒後か。
また、それまでのＰの道のりは何ｍか。
(2)Ｐ、Ｑが出発後初めて出会う時刻をＴ＝ｔ（秒）とする。
aがいろいろな値をとって変わるとき、Ｔはいかなる範囲を取りうるか。
点Ｐの速度の式を積分して、距離の式を求めると、
ｘ＝∫（ｔ2 －３ｔ＋２）ｄｔ
１ ３
＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ＋Ｃ
３ ２
ｔ＝０、ｘ＝０より、Ｃ＝０
１ ３
ｘ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ……①
３ ２
点Ｑも積分して、
ｘ＝∫（２ａｔ）ｄｔ＝ａｔ2 ＋Ｃ
同様にＣ＝０
ｘ＝ａｔ2 ……②
問１
１ １
ａ＝─のとき、②はｘ＝─ｔ2 より、
６ ６
１ １ ３
─ｔ2 ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ
６ ３ ２
６倍して、まとめると、
２ｔ3 －１０ｔ2 ＋１２ｔ＝０
ｔ3 －５ｔ2 ＋６ｔ＝０
ｔ（ｔ－２）（ｔ－３）＝０
∴ｔ＝０，２，３
出発後、ＰとＱが初めて出会うのは、２秒後……（答）
それまでのＰの道のりは、
１ ３
ｘ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ
３ ２
の極大と極小より、
ｄｘ
──＝ｔ2 －３ｔ＋２＝０
ｄｔ
（ｔ－１）（ｔ－２）＝０
∴ｔ＝１，２
ｔ＝１のとき、
１ ３ ５
ｘ＝─－─＋２＝─
３ ２ ６
ｔ＝２のとき、
８ ２
ｘ＝─－６＋４＝─
３ ３
したがって、Ｐの道のりは、
５ ５ ２
─＋（─－─ ）＝１
６ ６ ３
∴１ｍ……（答）
問２
Ｐ、Ｑが出発後初めて出会う時刻をＴ＝ｔ（秒）とする。
aがいろいろな値をとって変わるとき、Ｔが存在する範囲は、
①と②が接するところが境目だから、
１ ３
ａｔ2 ＝─ｔ3 －─ｔ2 ＋２ｔ
３ ２
６倍して、
２ｔ3 －（９＋６ａ）ｔ2 ＋１２ｔ＝０
ｔ｛２ｔ2 －（９＋６ａ）ｔ＋１２｝＝０
判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝（９＋６ａ）2 －４・２・１２＝０
３６ａ2 ＋１０８ａ－１５＝０
１２ａ2 ＋３６ａ－５＝０
ａ＞０より、
－９＋４\(\sqrt{\quad}\)６
ａ＝──────
６
したがって、
２ｔ2 －４\(\sqrt{\quad}\)６ｔ＋１２＝０
ｔ2 －２\(\sqrt{\quad}\)６ｔ＋６＝０
（ｔ－\(\sqrt{\quad}\)６）2 ＝０
∴ｔ＝\(\sqrt{\quad}\)６
したがって、０＜Ｔ≦\(\sqrt{\quad}\)６ ……（答）